Eclats de vers : Matemat : Triangles
Table des matières
1. Définition
Un triangle est une figure géométrique délimitée par trois segments reliant trois points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du triangle, tandis que chaque segment est appelé côté du triangle.
Le schéma ci-dessous représente un exemple de triangle de sommets \(A\), \(B\) et \(C\) délimité par les côtés de longueurs :
\[ a = \abs{BC} \]
\[ b = \abs{CA} \]
\[ c = \abs{AB} \]
On définit généralement un triangle par la liste de ces sommets. Le triangle du schéma ci-dessus est appelé triangle \(ABC\).
2. Classification
2.1. Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est un angle droit.
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle rectangle :
Dans un triangle rectangle :
- le plus long côté est appelé hypothénuse
- les deux autres côtés, appelés cathètes, sont adjacents à l’angle droit
Dans notre schéma, le côté \(c\) est l’hypothénuse, tandis que \(a\) et \(b\) sont les cathètes.
2.2. Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de longueurs égales.
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle isocèle :
2.3. Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de longueurs égales
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle équilatéral :
2.4. Triangle acutangle
Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle acutangle :
2.5. Triangle obtusangle
Un triangle obtusangle est un triangle dont un des angles est obtus
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle obtusangle :
3. Objets géométriques liés au triangle
3.1. Hauteur
Une hauteur est un segment qui part d’un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une hauteur \(h\) qui part du sommet \(C\) pour rejoindre perpendiculairement le côté \([A,B]\) :
3.1.1. Hauteur extérieure
Dans le cas où la hauteur progresse vers un côté du triangle adjacent à un angle obtus, on est amené à tracer la droite qui prolonge ce côté pour pouvoir construire la hauteur. Le schéma ci-dessous nous en donne un exemple, avec la hauteur \(h\) qui part du sommet \(C\) et progresse vers la droite \(d\) prolongeant le côté \([A,B]\) :
Les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés sur la droite \(d\).
3.2. Médiane
Une médiane est un segment qui part d’un sommet du triangle jusqu’au milieu du côté opposé.
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une médiane \(m\) qui part du sommet \(C\) pour rejoindre le milieu \(D\) du côté \([A,B]\) :
On a donc :
\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]
3.3. Médiatrice
Une médiatrice d’un triangle est tout simplement la médiatrice d’un des côtés.
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une médiatrice \(m\) qui croise perpendiculairement le côté \([A,B]\) en son milieu :
3.4. Bissectrice
Une bissectrice d’un triangle est une droite qui passe par un de ses sommets et qui coupe l’angle lié à ce sommet en deux parties égales.
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une bissectrice \(b\) qui passe par le sommet \(A\) et coupe l’angle \(\angleflex{BAC}\) en deux angles \(\alpha\) d’amplitudes égales :
4. Angles
4.1. Somme des angles d’un triangle
La figure ci-dessous représente un triangle \(ABC\), une droite \(a\) qui prolonge le côté \([A,B]\) et une droite \(b\) parallèle à \(a\) :
La notation des angles tient compte de l’égalité des angles alternes-internes formés par les droites \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
Ce schéma nous montre que les angles \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) forment ensemble un angle plat :
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Ces trois angles ayant les mêmes amplitudes que les angles internes du triangle \(ABC\), on en déduit que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
4.2. Triangle rectangle
Dans le cas d’un triangle rectangle, un des angles vaut \(\pi/2\) et leur somme s’écrit :
\[ \alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = \pi \]
ou encore :
\[ \alpha + \beta = \pi - \frac{\pi}{2} \]
et finalement :
\[ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \]
Les angles non droits d’un triangle rectangle sont complémentaires.
5. Inégalités triangulaires
Soit le triangle \(ABC\) suivant :
L’inégalité triangulaire des distances nous garantit qu’il est toujours plus court d'aller directement du point \(A\) au point \(B\) plutôt que de passer par un point intermédiaire \(C\). On a donc l'inégalité triangulaire :
\[ \abs{AB} \le \abs{AC} + \abs{CB} \]
Il en va de mēme pour aller du point \(A\) au point \(C\) en passant ou non par \(B\) :
\[ \abs{AC} \le \abs{AB} + \abs{BC} \]
ou pour aller du point \(B\) au point \(C\) en passant ou non par \(A\) :
\[ \abs{BC} \le \abs{BA} + \abs{AC} \]
En isolant \(\abs{BC} = \abs{CB}\) dans les deux premières équations, on obtient :
\[ \abs{BC} \ge \abs{AB} - \abs{AC} \]
\[ \abs{BC} \ge \abs{AC} - \abs{AB} \]
ou, sous forme plus condensée :
\[ \abs{BC} \ge \max \big\{ \abs{AB} - \abs{AC}, \abs{AC} - \abs{AB} \big\} \]
En suivant le même raisonnement pour \(\abs{AB} = \abs{BA}\) dans les deuxième et troisième inégalités triangulaires, on obtient :
\[ \abs{AB} \ge \max \big\{ \abs{AC} - \abs{BC}, \abs{BC} - \abs{AC} \big\} \]
En suivant le même raisonnement pour \(\abs{AC}\) dans les première et troisième inégalités triangulaires, on obtient :
\[ \abs{AC} \ge \max \big\{ \abs{AB} - \abs{BC}, \abs{BC} - \abs{AB} \big\} \]
Dans notre exemple, on a clairement :
\[ \abs{AB} \ge \abs{BC} \ge \abs{CA} \]
et :
\[ \abs{AB} - \abs{AC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{AC} - \abs{AB} \le 0 \]
\[ \abs{BC} - \abs{AC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{AC} - \abs{BC} \le 0 \]
\[ \abs{AB} - \abs{BC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{BC} - \abs{AB} \le 0 \]
ce qui nous donne les bornes inférieures :
\[ \abs{BC} \ge \abs{AB} - \abs{AC} \]
\[ \abs{AB} \ge \abs{BC} - \abs{AC} \]
\[ \abs{AC} \ge \abs{AB} - \abs{BC} \]
Nous avons donc montré que :
- la longueur de chacun des côtés d’un triangle est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
- la longueur de chacun des côtés d’un triangle est supérieure ou égale à la différence entre le plus long et le plus court des deux autres côtés
6. Triangles isométriques
6.1. Définition
Deux triangles sont dits isométriques si leur côtés correspondants sont de même longueur et leurs angles correspondants de même amplitude. Le schéma ci-dessous nous en montre un exemple :
avec :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
et :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
Remarque : deux côtés ou angles correspondants sont aussi qualifiés d’homologues.
6.2. Notation
Si deux triangles \(T_1\) et T2$ sont isométriques, on le note :
\[ T_1 \cong T_2 \]
Remarque : attention à ne pas confondre le symbole d’isométrie \(\cong\) avec l’égalité approximative \(\approx\) ou \(\simeq\).
6.3. Équivalence
On vérifie aisément que la relation d’isométrie est une équivalence.
7. Triangles semblables
7.1. Définition
Deux triangles sont dits semblables si leurs côtés sont proportionnels, c’est-à-dire si les rapports de leurs côtés correspondants sont les mêmes, et si leurs angles correspondants sont de même amplitude. Le schéma ci-dessous nous en montre un exemple :
On a alors la proportion commune :
\[ \varphi = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} \]
et les angles :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
7.2. Isolation des longueurs
En isolant les longueurs du grand triangle \(DEF\) dans les relations de la proportion commune, on obtient :
\[ a_2 = \varphi \ a_1 \]
\[ b_2 = \varphi \ b_1 \]
\[ c_2 = \varphi \ c_1 \]
7.3. Différences de longueurs
Le triangle \(DEF\) est clairement plus grand que le triangle \(ABC\). On a donc :
\[ \varphi = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} > 1 \]
Ces différences de longueurs sont donc strictement positives :
\[ \difference a = a_2 - a_1 \]
\[ \difference b = b_2 - b_1 \]
\[ \difference c = c_2 - c_1 \]
7.3.1. Petit triangle comme référence
Comparons la différence de longueurs \(\difference a\) avec la longueur correspondante du petit triangle \(ABC\) :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \frac{a_2 - a_1}{a_1} \]
Il vient :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} - \frac{a_1}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} - 1 \]
Comme le rapport dans le membre de droite vaut \(\varphi\), on a finalement :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \varphi - 1 \]
Posons :
\[ \rho = \varphi - 1 \]
Le rapport précédent peut se réécrire :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \rho \]
On a aussi :
\[ \frac{\difference b}{b_1} = \frac{b_2}{b_1} - 1 = \varphi - 1 = \rho \]
et :
\[ \frac{\difference c}{c_1} = \frac{c_2}{c_1} - 1 = \varphi - 1 = \rho \]
Les différences de longueurs entre le plus grand triangle et le plus petit respectent la proportion commune :
\[ \rho = \frac{\difference a}{a_1} = \frac{\difference b}{b_1} = \frac{\difference c}{c_1} \]
de valeur :
\[ \rho = \varphi - 1 \]
7.3.2. Grand triangle comme référence
Comparons la différence de longueurs \(\difference a\) avec la longueur correspondante du grand triangle \(DEF\) :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{a_2 - a_1}{a_2} \]
Il vient :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{a_2}{a_2} - \frac{a_1}{a_2} = 1 - \frac{a_1}{a_2} \]
Comme le rapport dans le membre de droite vaut \(1/\varphi\), on a finalement :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Posons :
\[ \omega = 1 - \unsur{\varphi} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Le rapport précédent peut se réécrire :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \omega \]
On a aussi :
\[ \frac{\difference b}{b_2} = 1 - \frac{b_1}{b_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \omega \]
et :
\[ \frac{\difference c}{c_2} = 1 - \frac{c_1}{c_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \omega \]
Les différences de longueurs entre le plus grand triangle et le plus petit respectent la proportion commune :
\[ \omega = \frac{\difference a}{a_2} = \frac{\difference b}{b_2} = \frac{\difference c}{c_2} \]
de valeur :
\[ \omega = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Comme \(\varphi \ge 1\), on a les bornes :
\[ 0 \le 1 - \unsur{\varphi} < 1 \]
ou :
\[ 0 \le \omega < 1 \]
Remarque : on aurait aussi pu partir de :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \rho = \varphi - 1 \]
isoler \(\difference a\) :
\[ \difference a = (\varphi - 1) \ a_1 \]
et diviser par \(a_2\) :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = (\varphi - 1) \ \frac{a_1}{a_2} \]
comme \(a_1 / a_2 = 1/\varphi\), on obtient le même résultat que précédemment :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Le raisonnement est similaire pour \(\difference b / b_2\) et \(\difference c / c_2\).
7.4. Proportions internes
Divisons \(a_2\) par \(b_2\) et remplaçons ces longueurs par leurs expressions en fonctions de \(\varphi\) et des longueurs du petit triangle \(ABC\) :
\[ \frac{a_2}{b_2} = \frac{\varphi \ a_1}{\varphi \ b_1} \]
En simplifiant, il vient :
\[ \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1}{b_1} \]
Le rapport des longueurs des deux premiers côtés est le même dans les deux triangles. En utilisant la même méthode avec \(a_2\) et \(c_2\), on obtient :
\[ \frac{a_2}{c_2} = \frac{a_1}{c_1} \]
Enfin, en utilisant la même méthode avec \(b_2\) et \(c_2\), on obtient :
\[ \frac{b_2}{c_2} = \frac{b_1}{c_1} \]
Les proportions internes entre les longueurs des côtés sont les mêmes dans les deux triangles.