Eclats de vers : Matemat : Géométrie plane

Une droite \(d\) est un ensemble de points alignés sur une ligne droite infinie. On note une droite par une lettre minuscule.

Le schéma ci-dessous représente une droite \(d\) :

Une droite est complètement déterminée par deux de ses points. Si on connaît deux points \(A\) et \(B\) appartenant à une droite \(d\), on peut donc s’en servir pour désigner \(d\). Dans le schéma ci-dessous :

la droite \(d\) peut aussi se noter :

\[ (AB) \]

On a donc :

\[ d = (AB) \]

On dit que deux droites \(a\) et \(b\) sont sécantes si elles se croisent en un point \(P\) :

\[ a \cap b = \{ P \} \]

Le point \(P\) est alors appelé point d’intersection de \(a\) et \(b\).

Le schéma ci-dessous représenté un exemple de deux droites sécantes \(a\) et \(b\) qui s’interctent au point \(P\) :

On dit d’une série de points qu’ils sont alignés si ils appartiennent à une meme droite.

On ne note pas toujours les parenthèses :

\[ AB = (AB) \]

Le point \(A\) est appelé origine de la demi-droite \([AB)\).

Il existe plusieurs variantes de demi-droite :

• un demi-droite est dite fermée si elle contient son origine \(A\)
  • on la note \([AB)\)
• un demi-droite est dite ouverte si elle ne contient pas son origine \(A\)
  • on la note \(]AB)\)

On ne note pas toujours la parenthèse :

\[ [AB = [AB) \]

On peut aussi noter une demi-droite par une lettre minuscule :

\[ d = [AB) \]

Si on coupe une droite \((AB)\) au niveau des points \(A\) et $B, et que l’on conserve la partie située entre \(A\) et \(B\), on obtient un segment \([A,B]\).

Le schéma ci-dessous donne un exemple de segment :

Il existe plusieurs variantes de segments :

• le segment \([A,B]\) contient les deux extrémités \(A\) et \(B\)
• le segment \(]A,B[\) ne contient ni \(A\) ni \(B\)
• le segment \([A,B[\) contient \(A\) mais pas \(B\)
• le segment \(]A,B]\) contient \(B\) mais pas \(A\)

Les extrémités d’un segment \([A,B]\) sont simplement les points \(A\) et \(B\) qui délimitent ce segment.

Il est clair que les extrémités d’un segment suffisent à le définir.

On dit qu’une droite \(d\) prolonge un segment \([A,B]\) si les points \(A\) et \(B\) appartiennent à \(d\), autrement dit si :

\[ d = (AB) \]

On ne note pas toujours la virgule :

\[ [AB] = [A,B] \]

Une lettre minuscule peut aussi servir à désigner un segment :

\[ s = [A,B] \]

On utilise une règle graduée pour :

• mesurer la longueur d’un segment
• tracer un segment de longueur donnée

La distance entre deux points \(A\) et \(B\) se note :

\[ \abs{AB} \]

ou :

\[ \overline{AB} \]

ou encore :

\[ \distance(A,B) \]

Cette distance est la longueur du plus court chemin qui mène de \(A\) à \(B\), c’est-à-dire la longueur du segment \([A,B]\) qui les sépare :

\[ \abs{AB} = \Bigl|[A,B]\Bigr| \]

Il est clair qu’une distance entre deux points est positive :

\[ \abs{AB} \ge 0 \]

Elle est également symétrique puisqu'on obtient la même distance lorsqu'on intervertit les points :

\[ \abs{AB} = \abs{BA} \]

Par ailleurs, la distance entre deux points identiques doit évidemment être nulle :

\[\abs{AA} = 0\]

Le seul point \(Y\) qui peut se trouver à distance nulle de \(X\) est le point \(X\) lui-même :

\[\abs{XY} = 0 \quad \Longrightarrow \quad X = Y\]

Il est toujours plus court d'aller directement du point \(A\) au point \(B\) plutôt que de passer par un point intermédiaire \(C\). On a donc l'inégalité triangulaire :

\[ \abs{AB} \le \abs{AC} + \abs{CB} \]

Dans le cas où les trois points \(A\), \(C\) et \(B\) sont alignés et dans l’ordre présenté ci-dessous :

on a clairement :

\[ \abs{AB} = \abs{AC} + \abs{CB} \]

L’inégalité triangulaire devient alors une égalité.

Par contre, si les trois points ne sont pas alignés :

l’inégalité triangulaire est clairement stricte :

\[ \abs{AB} < \abs{AC} + \abs{CB} \]

On dit que deux segments sont isométriques lorsqu’ils ont la même longueur.

On dit que deux droites \(a\) et \(b\) sont parallèles si elles ne se croisent pas :

\[ a \cap b = \emptyset \]

ou si elles sont confondues :

\[ a = b \]

Si deux droites \(a\) et \(b\) sont parallèles, on le note :

\[ a \parallel b \]

Le schéma ci-dessous représenté un exemple de deux droites parallèles \(a\) et \(b\) :

On dit que deux segments \([A,B]\) et \([C,D]\) sont parallèles lorsque les droites qui les prolongent sont parallèles :

\[ [A,B] \parallel [C,D] \qquad \Longleftrightarrow \qquad (AB) \parallel (CD) \]

On dit qu’une droite \(d\) est parallèle à un segment \([A,B]\) lorsque la droite qui prolonge \([A,B]\) est parallèle à \(d\) :

\[ d \parallel [A,B] \qquad \Longleftrightarrow \qquad d \parallel (AB) \]

Certaines figures géométriques forment un circuit. Ce circuit est généralement composé de segments et de courbes.

Un polygone est une figure géométrique délimitée par des segments reliant des points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du polygone, tandis que chaque segment est appelé côté du polygone.

Le périmètre d’une figure géométrique formant un circuit est la longueur parcourue le long de ce circuit.

Un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points situés à une distance \(r\) du point \(O\) :

On note aussi :

\[ \mathscr{C}[O, r] \]

le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On a donc :

\[ r = \abs{OP} \]

pour tout \(P \in \mathscr{C}(O, r)\). Si \(\Pi\) est le plan dans lequel le cercle \(\mathscr{C}\) est tracé, on a :

\[ \mathscr{C}(O, r) = \{ P \in \Pi : \abs{OP} = r \} \]

Remarque : ne pas confondre la lettre \(O\), qui désigne un point, avec le neutre pour l’addition \(0\).

Le rayon d’un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) est à la fois :

• la distance entre le centre \(O\) et n’importe quel point \(P \in \mathscr{C}\)
• le segment \([O,P]\) qui relie le centre \(O\) à n’importe quel point \(P \in \mathscr{C}\)

Une corde du cercle \(\mathscr{C}\) est un segment qui relie deux points de \(\mathscr{C}\).

Le schéma ci-dessous représenté une corde \([A,B]\) du cercle \(\mathscr{C}\) :

Une droite \(t\) est dite tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\) si \(t\) intersecte \(\mathscr{C}\) seulement en \(A\) :

\[ t \cap \mathscr{C} = \{ A \} \]

Le point \(A\) appartient donc à la fois à la droite \(t\) et au cercle \(\mathscr{C}\).

Le schéma ci-dessous représenté une droite \(t = (AB)\), tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\) :

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Un diamètre de \(\mathscr{C}\) est une corde qui passe par le centre \(O\).

Le schéma ci-dessous représenté un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) et un diamètre \([A,B]\) :

Les points \(A\) et \(B\) appartiennent donc au cercle \(\mathscr{C}\) et sont alignés avec \(O\).

Le terme de diamètre désigne aussi la distance entre les extrémités du segment-diamètre. Dans l’exemple du schéma, on a le diamètre \(d\) :

\[ d = \abs{AB} \]

Comme le segment \([A,B]\) englobe deux fois le rayon \(r\), on a :

\[ d = 2 \ r \]

Cette distance est donc la même pour tous les segments-diamètres d’un cercle donné, et vaut le double du rayon du cercle.

Il va de soi que tous les cercles de rayon \(1\) ont le même périmètre \(\mathcal{P}_1\). Le nombre \(\pi\) est défini comme valant la moitié de ce périmètre :

\[ \pi = \frac{\mathcal{P}_1}{2} \]

Le périmètre d’un cercle de rayon \(1\) vaut donc :

\[ \mathcal{P}_1 = 2 \ \pi \]

Un arc de cercle \(\Gamma\) est une partie d’un cercle \(\mathscr{C}\) comprise entre deux points. Un arc de cercle possède les mêmes propriétés que le cercle dont il est issu : si \(\mathscr{C}\) est de centre \(O\) et de rayon \(r\), on dit également que \(\Gamma\) est de centre \(O\) et de rayon \(r\).

Le schéma ci-dessous représente un arc de cercle \(\Gamma\) (en trait plein) de centre \(O\) et compris entre les points \(A\) et \(B\) :

Le reste du cercle dont \(\mathscr{C}\) est issu est représenté en tirets.

On désigne également un arc de cercle par un arc tracé au-dessus des points extrêmes qui le délimitent. Suivant le schéma ci-dessus, on a par exemple :

\[ \Gamma = \arcdecercle{AB} \]

Un disque \(\mathscr{D}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points situé sur ou à l’intérieur du cercle \(\mathscr{C}(O,r)\) :

On le note aussi :

\[ \mathscr{D}[O, r] \]

Si \(\Pi\) est le plan dans lequel le disque \(\mathscr{D}\) est tracé, on a :

\[ \mathscr{D}(O, r) = \{ P \in \Pi : \abs{OP} \le r \} \]

Un secteur angulaire est un ensemble de point compris entre :

• un arc de cercle \(\Gamma\)
• les rayons \([O,A]\) et \([O,B]\) correspondant aux extrémités \(A\) et \(B\) de \(\Gamma\)

Le schéma suivant représente un secteur angulaire \(\mathscr{S}\) :

Remarque : les points situés sur l’arc de cercle ou sur les rayons sont inclus dans le secteur angulaire.

Un segment orienté est un segment auquel on donne un sens de progression, d’une extrémité du segment vers l’autre. Dans cet ouvrage, je note :

\[ [A \to B] \]

un segment orienté \([A,B]\) progressant de \(A\) vers \(B\).

Le schéma ci-dessous représente un exemple de segment orienté \([A \to B]\) :

• le point \(A\) est appelé origine ou point de départ du segment orienté \([A \to B]\) :
• le point \(B\) est appelé destination du segment orienté \([A \to B]\) :

Un segment orienté \([A \to B]\) est caractérisé par :

• les points \(A\) et \(B\), extrémités du segment
• une longueur \(\abs{AB}\)
• une droite \((AB)\) dans laquelle il est inclus, qui donne sa direction
• un sens de progression de \(A\) vers \(B\)

On considère que deux segments orientés \([A \to B]\) et \([C \to D]\) sont équivalents si :

• ils ont la même longueur : \(\abs{AB} = \abs{CD}\)
• ils ont la même direction : la droite \((AB)\) est parallèle à la droite \((CD)\)
• ils ont un sens de progression identique

Nous allons à présent définir précisément ce que signifie un sens de progression identique.

Un vecteur géométrique est une classe d’équivalence de segments orientés : on considère que des segments orientés équivalents entre-eux représentent le même vecteur.

Le vecteur associé au segment \([A \to B]\) est noté :

\[ \vecteur{AB} \]

Le segment orienté \([A \to B]\), ainsi que toutes ses copies par translation, sont donc considèrés comme des représentants du vecteur \(\vecteur{AB}\).

Comme tous les segments orientés équivalents à \([A \to B]\) possèdent :

• une même longueur
• une même direction
• un même sens de progression

le vecteur \(\vecteur{AB}\) est entièrement déterminé par les mêmes caractéristiques.

On peut aussi désigner un vecteur géométrique par une lettre minuscule surmontée d’une flèche. Un vecteur qui progresse du point \(A\) vers le point \(B\) peut être noté :

\[ \vecteur{u} = \vecteur{AB} \]