Eclats de vers : Matemat : Triangles rectangles
Table des matières
1. Théorème de Pythagore
1.1. Introduction
Soit le triangle :
Nous allons montrer une importante relation entre les longueurs \(a,b,c\) en utilisant le schéma suivant :
Aire de chaque triangle rectangle :
\[ A_T = \frac{a b}{2} \]
Aire du grand carré d’après son côté \(a+b\) :
\[ A = (a+b)^2 = a^2 + 2 \ a \ b + b^2 \]
Aire du grand carré exprimé comme la somme des aires du carré et des triangles qu’il contient :
\[ A = c^2 + 4 \cdot A_T = c^2 + 4 \cdot \frac{a \ b}{2} = c^2 + 2 \ a \ b \]
Comme les deux expressions de \(A\) sont égales, on a :
\[ a^2 + 2 \ a \ b + b^2 = c^2 + 2 \ a \ b \]
ce qui donne en simplifiant :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Le carré de l’hypothénuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
La longueur \(c\) étant un réel positif, on en déduit immédiatement que :
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
1.2. Triangles de Pythagore
Un triangle de Pythagore est un triangle rectangle où les longueurs des trois côtés sont des nombres entiers.
La figure ci-dessus utilise une astuce algébrique pour obtenir certains triangles de Pythagore. En effet :
\begin{align*} A^2 + B^2 &= \left(a^2 - b^2\right)^2 + \left(2 \ a \ b\right)^2 \\ &= a^4 - 2 \ a^2 \ b^2 + b^4 + 4 \ a^2 \ b^2 \\ &= a^4 + 2 \ a^2 \ b^2 + b^4 \\ &= \left(a^2 + b^2\right)^2 \end{align*}et finalement :
\[ A^2 + B^2 = C^2 \]
Choisir de telles expressions pour \(A\), \(B\), \(C\) nous assure d’avoir des longueurs qui respectent le théorème de Pythagore. De plus, si les longueurs \(a\), \(b\), \(c\) sont entières, les longueurs \(A\), \(B\), \(C\) le seront également. Le tableau suivant nous donne les premiers triangles de Pythagore obtenus avec cette méthode.
| \(a\) | \(b\) | \(A\) | \(B\) | \(C\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 |
| 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 |
| 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
1.3. Propriétés des cathètes
Examinons le triangle rectangle ci-dessous :
L’hypothénuse \(c\) y est scindée en deux parties \(u\) et \(v\) par la hauteur \(h\) qui lui est perpendiculaire. On a donc :
\[ c = u + v \]
De plus, la hauteur \(h\) divise le triangle rectangle principal en deux triangles rectangles : \(a,h,u\) et \(b,h,c\).
1.3.1. Carré de la hauteur
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle principal nous donne :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
On sait déjà que \(c = u + v\). Par ailleurs, le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de gauche nous donne :
\[ h^2 + u^2 = a^2 \]
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de droite nous donne :
\[ h^2 + v^2 = b^2 \]
On peut se servir de ces expressions pour substituer les valeurs de \(a\) et \(b\) dans le triangle principal :
\[ (h^2 + u^2) + (h^2 + v^2) = (u+v)^2 \]
ou encore :
\[ 2 \ h^2 + u^2 + v^2 = u^2 + 2 \ u \ v + v^2 \]
En simplifiant, il vient :
\[ 2 \ h^2 = 2 \ u \ v \]
On obtient finalement :
\[ h^2 = u \ v \]
1.3.2. Carré des cathètes
On reprend le théorème de Pythagore dans le triangle de gauche :
\[ a^2 = u^2 + h^2 \]
et on remplace le carré de la hauteur par le produit \(u\ v\) :
\[ a^2 = u^2 + u \ v \]
On met ensuite \(u\) en évidence :
\[ a^2 = u \ (u + v) \]
ce qui nous donne :
\[ a^2 = u \ c \]
On utilise le même procédé dans le triangle de droite :
\begin{align*} b^2 &= v^2 + h^2 \\ &= v^2 + u \ v \\ &= v \ (u + v) \\ \end{align*}ce qui nous donne :
\[ b^2 = v \ c \]
1.3.3. Produit des cathètes
En multipliant les équations :
\[ a^2 = u \ c \]
\[ b^2 = v \ c \]
ensemble, on obtient :
\[ a^2 \ b^2 = u \ c \ v \ c \]
ou encore :
\[ a^2 \ b^2 = u \ v \ c^2 \]
Le produit \(u \ v\) étant identique à la hauteur, on a :
\[ a^2 \ b^2 = h^2 \ c^2 \]
et finalement :
\[ a \ b = h \ c \]