Eclats de vers : Matemat : Perpendicularité

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Traçons la construction géométrique ci-dessous :

Voici les étapes de cette construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) suffisamment grand pour qu’un cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) possède deux intersection avec \(d\)
2. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
3. on note \(B\) et \(D\) les deux points d’intersections de la droite \(d\) avec l’arc de cercle \(\mathscr{C}\)
4. on trace \(E\) le point milieu du segment \([B,D]\)
5. on trace la droite \(p = (AE)\)

On remarque ensuite que les triangles \(ABE\) et \(AED\) possèdent trois côtés de longueurs identiques :

• le côté commun \([A,E]\)
• les côtés \([A,B]\) et \([A,D]\) sont tous deux de longueur \(r\) par construction de l’arc de cercle \(\mathscr{C}\)
• les côtés \([B,E]\) et \([E,D]\) sont de même longueur par construction du point \(E\)

Par conséquent, les triangles \(ABE\) et \(AED\) sont isométriques et leurs angles correspondants sont de même amplitude :

\[ \alpha = \beta \]

Comme ces deux angles forment ensemble un angle plat :

\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

On a :

\[ 2 \ \alpha = 180^\circ \]

et finalement :

\[ \alpha = \beta = 90^\circ \]

La droite \(p\) est donc perpendiculaire à \(d\) et passe par \(A\). Ce résultat nous montre l’existence d’une telle droite.

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Nous avons établi qu’il existe au moins une droite perpendiculaire à \(d\) et passant par \(A\). Cette droite est-elle unique ? Supposons un instant qu’il y ait au moins deux de ces perpendiculaires qui passent par le point \(A\), disons \(f\) et \(g\) :

On a les intersections distinctes :

\[ f \cap d = \{ B \} \]

\[ g \cap d = \{ C \} \]

Les droites \(f\) et \(g\) ne sont donc pas confondues. Comme \(f\) et \(g\) sont perpendiculaires à \(d\), les angles \(\angleflex{CBA}\) et \(\angleflex{ACB}\) sont des angles droits. Leur somme vaut :

\[ \abs{\angleflex{CBA}} + \abs{\angleflex{ACB}} = 180^\circ \]

La somme des deux angles internes à \(f\) et \(g\) et situés du même côté de \(d\) vaut 180°. La réciproque du cinquième axiome d’Euclide nous garantit alors que \(f\) et \(g\) sont parallèles. Comme ces droites ne sont pas confondues, on doit avoir :

\[ f \cap g = \emptyset \]

Mais le point \(A\) appartient aux deux droites, ce qui implique :

\[ A \in f \cap g \]

Cette intersection n’est donc pas vide :

\[ f \cap g \ne \emptyset \]

On a donc finalement :

\[ \emptyset = f \cap g \ne \emptyset \]

ce qui est manifestement une absurdité. On en conclut que notre hypothèse est invalide. Il existe donc au maximum une seule droite perpendiculaire à \(d\) et passant par \(A\).

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Nous avons montré qu’il existe une et une seule droite \(p\), perpendiculaire à la droite \(d\) et passant par le point \(A\) :

Il existe également un et un seul point d’intersection \(I\) entre \(d\) et \(p\) :

\[ d \cap p = \{ I \} \]

Le point \(I\) est appelé la projection orthogonale de \(A\) sur \(d\). On la note :

\[ I = \projection(A,d) \]

Par chaque sommet d’un triangle, on peut construire une et une seule hauteur perpendiculaire au côté opposé.

Soit deux droites \(d\) et \(f\), distinctes et parallèles. Choisissons deux points \(A\) et \(B\) sur la droite \(d\), et traçons :

• la droite \(g\), perpendiculaire à \(f\) et passant par \(A\)
• la droite \(h\), perpendiculaire à \(f\) et passant par \(B\)
• le point \(C\), intersection de \(g\) et \(f\) et projection orthogonale de \(A\) sur \(f\)
• le point \(D\), intersection de \(h\) et \(f\) et projection orthogonale de \(B\) sur \(f\)

Le schéma ci-dessous illustre cette construction géométrique :

Comme \(d\) et \(f\) sont parallèles, \(g\) et \(h\) sont également perpendiculaires à \(d\), comme indiqué dans le schéma.

Nous avons aussi tenu compte, dans la notation des angles, du parallélisme de \(d\) et \(f\), qui implique une égalité des angles alternes-internes.

Les triangles rectangles \(ACD\) et \(ADB\) ont un angle \(\alpha\) de même amplitude et une hypothénuse \([A,D]\) commune. Ce sont donc des triangles isométriques et :

\[ \abs{AC} = \abs{BD} \]

La longueur d’un segment :

• perpendiculaire à deux droites parallèles
• délimité par les points d’intersections avec ces droites

ne dépend pas du point choisi sur une des droites pour construire ce segment. On peut donc définir la distance entre deux droites comme étant la longueur d’un segment qui les relie et leur est perpendiculaire :

\[ \distance(d,f) = \abs{AC} \]

Comme \(C\) est la projection orthogonale de \(A\) sur \(f\), la distance entre deux droites est égale à la distance entre un point de la première droite et sa projection orthogonale sur la seconde droite.

La distance entre deux segments parallèles \([A,B]\) et \([C,D]\) est tout simplement défini comme étant égal à la distance entre les droites \((AB)\) et \((CD)\) qui les prolongent.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(d\) perpendiculaire au rayon \([O,A]\) :

Le rayon \([O,A]\) est perpendiculaire à \(d\) et passe par \(O\). Le point \(A\) est donc la projection orthogonale de \(O\) sur \(d\). Par conséquent, \(A\) est l’unique point qui minimise la distance avec \(O\) parmi tous les points \(B \in d\) :

\[ \abs{OA} = \min_{B \in d} \abs{OB} \]

On a donc :

\[ \abs{OB} \ge \abs{OA} = r \]

pour tout point \(B\) appartenant à la droite \(d\). Lorsque \(B\) est distinct de \(A\), cette inégalité est stricte par unicité du minimum :

\[ \abs{OB} > \abs{OA} = r \]

Tous les points \(B \in d\) distincts de \(A\) sont donc situés en dehors du cercle \(\mathscr{C}\). Le point \(A\) est donc l’unique point d’intersection entre \(d\) et \(\mathscr{C}\) :

\[ d \cap \mathscr{C} = \{ A \} \]

Par définition, la droite \(d\) est tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\).

Pour construire une tangente à un cercle, il suffit de tracer une perpendiculaire à un rayon du cercle.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(t\) tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\) :

Par définition du cercle, le point \(A\) est à une distance \(r\) du centre \(O\) :

\[ \abs{OA} = r \]

Supposons qu’il existe un autre point \(E \in t\) qui soit sur le cercle :

\[ \abs{OE} = r \]

Ces deux points appartiendraient alors simultanément à la droite \(t\) et au cercle :

\[ \{ A, E \} \subseteq t \cap \mathscr{C} \]

Il y aurait donc au moins deux points d’intersection entre \(t\) et le cercle \(\mathscr{C}\), et la droite \(t\) ne pourrait pas être une tangente au cercle, ce qui contredit l’hypothèse. Supposons à présent qu’il existe un point \(H \in t\) qui soit strictement à l’intérieur du cercle :

\[ \abs{OH} < r \]

La seule solution pour que cette situation se produise est que la droite \(t\) rentre dans le cercle au point \(A\) et en ressorte à une autre point \(I \in t\) :

Il y aurait alors deux points d’intersection entre \(t\) et le cercle \(\mathscr{C}\) :

\[ t \cap \mathscr{C} = \{ A, I \} \]

La droite \(t\) ne pourrait donc pas être une tangente au cercle, ce qui contredit l’hypothèse.

Par conséquent, le caractère de tangente de \(t\) en \(A\) implique que tous les points \(B \in t\) distincts de \(A\) doivent se situer strictement en dehors du cercle. On a donc l’inégalité stricte :

\[ \abs{OB} > r = \abs{OA} \]

Le point \(A \in t\) minimise donc la distance avec le centre \(O\) sur la droite \(t\) :

\[ \abs{OA} = \min_{B \in t} \abs{OB} \]

Par unicité du minimum, \(A\) est la projection orthogonale de \(O\) sur la droite \(t\), ce qui implique que le rayon \([O,A]\) doit être perpendiculaire à \(t\) :

\[ [O,A] \perp t \]

Il existe une et une seule tangente au cercle \(\mathscr{C}(O,r)\) au point \(A\) : la droite \(t\), qui passe par \(A\) et est perpendiculaire au rayon \([O,A]\).

Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la hauteur qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :

Par définition du triangle isocèle, on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

On voit que les triangles rectangles \(ADC\) et \(BCD\) ont une cathète \(h\) et leur hypothénuse de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]

La hauteur \(h\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). On a aussi :

\[ \alpha = \beta \]

Les angles adjacents au côté \([A,B]\) sont égaux. L’égalité du dernier angle :

\[ \lambda = \mu \]

signifie que la hauteur \(h\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\).

On a donc finalement le schéma suivant :

En résumé :

• les deux angles adjacents au côté \([A,B]\) sont égaux
  • \([A,B]\) est le côté qui reste lorsqu’on retire les côtés de longueur égale du triangle isocèle
• la hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle \(ABC\), et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\)

Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la médiane qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :

Par définition du triangle isocèle, on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

Par définition de la médiane, on a :

\[ b = \abs{AD} = \abs{DB} \]

On voit que les triangles \(ADC\) et \(BCD\) ont leurs trois côtés de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques, ce qui signifie que leurs angles sont de mêmes amplitudes. On a en particulier :

\[ \alpha = \beta \]

\[ \gamma = \delta \]

\[ \lambda = \mu \]

Cette dernière relation signifie que la médiane \(m\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\).

Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, il vient :

\[ \gamma + \delta = 2 \ \gamma = 180^\circ \]

d’où :

\[ \gamma = 90^\circ \]

La médiane \(m\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\).

On a donc finalement le schéma suivant :

Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la bissectrice qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :

Par définition du triangle isocèle, on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

On voit que les triangles \(ADC\) et \(BCD\) ont un angle de même amplitude \(\lambda\) situé entre deux côtés de mêmes longueurs :

• la bissectrice \(b\), côté commun
• les côtés \(\abs{AC}\) et \(\abs{BC}\)

Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]

La bissectrice \(b\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). On a aussi :

\[ \alpha = \beta \]

\[ \gamma = \delta \]

Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, il vient :

\[ \gamma + \delta = 2 \ \gamma = 180^\circ \]

d’où :

\[ \gamma = 90^\circ \]

La bissectrice \(b\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\). Notre schéma devient :

Conclusion : les trois sections qui précèdent nous montre que la hauteur, la médiatrice et la bissectrice qui partent du sommet situé entre les côtés égaux d’un triangle isocèle se confondent.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) qui possède deux angles de même amplitude sur deux de ses sommets, et la hauteur \(h\) qui part du troisième sommet \(C\) :

Les triangles rectangles \(ADC\) et \(BCD\) ont une cathète \(h\) commune, et un angle non adjacent d’amplitude égale. Ces deux triangles sont donc isométriques. On a en particulier :

\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]

\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]

\[ \lambda = \mu \]

Notre schéma devient :

On voit que :

• le triangle \(ABC\) est isocèle
• la hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle \(ABC\), et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\)

Un triangle qui a deux angles de même amplitude est donc un triangle isocèle.

Le schéma ci-dessous représente un triangle équilatéral \(ABC\) avec ses trois angles :

Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \([A,C]\) et \([B,C]\) :

\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]

les angles associés doivent être égaux :

\[ \alpha = \beta \]

Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \([A,C]\) et \([A,B]\) :

\[ \abs{AC} = \abs{AB} \]

les angles associés doivent être égaux :

\[ \alpha = \gamma \]

Les trois angles sont donc identiques :

\[ \alpha = \beta = \gamma \]

La somme des angles de ce triangle nous donne :

\[ \alpha + \beta + \gamma = 3 \ \alpha = 180^\circ \]

On a donc :

\[ \alpha = \beta = \gamma = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]

Les angles d’un triangle équilatéral ont tous une amplitude de 60°.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) qui possède trois angles égaux :

Comme les angles \(\angleflex{A}\) et \(\angleflex{B}\) sont égaux (ils valent tous deux \(\alpha\)), ce triangle est isocèle en \([A,C]\) et \([B,C]\) :

\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]

Comme les angles \(\angleflex{A}\) et \(\angleflex{C}\) sont égaux, ce triangle est isocèle en \([A,B]\) et \([C,B]\) :

\[ \abs{AB} = \abs{CB} \]

Les trois côtés sont donc de longueur égale.

Un triangle qui possède trois angles égaux est un triangle équilatéral.