Eclats de vers : Matemat : Polynômes
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:polynomes}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
- Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes
- Chapitre \ref{chap:produit} : Les produits
2. Définition
Soit un corps \(\corps\). On dit qu'une fonction \(p : \corps \mapsto \corps\) est un polynôme de degré \(n\) si on peut trouver des éléments \(p_0,p_1,...p_n \in \corps\) tels que :
\[p(x) = \sum_{i = 0}^n p_i \cdot x^i\]
pour tout \(x \in \corps\). On note \(\polynome(\corps,n)\) l'espace des polynômes de degré \(n\) définis sur \(\corps\).
Un cas particulier important est celui des polynômes réels :
\[\mathcal{P}_n = \polynome(\setR,n)\]
3. Équivalence avec \(\corps^{n+1}\)
Tout n-tuple \((p_0,p_1,p_2,...,p_n)\in\corps^{n+1}\) peut être associé à un polynôme :
\[p(x) = \sum_{i = 0}^n p_i \cdot x^i \in \polynome(\corps,n)\]
et vice versa. On a donc l’équivalence :
\[\polynome(\corps,n) \equiv \corps^{n+1}\]
4. Monôme
Un monôme \(\mu_i : \corps \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :
\[\mu_i(x) = x^i\]
pour tout \(x \in \corps\).
5. Division Euclidienne polynômiale
5.1. Définition
Soit deux polynomes \(p \in \mathcal{P}_n\) et \(d \in \mathcal{P}_m\) avec \(m \le n\) et :
\[ p(x) = \sum_{i = 0}^n p_i \cdot x^i \]
\[ d(x) = \sum_{i = 0}^m d_i \cdot x^i \]
On dit que \(q\) et \(r\) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(p\) par le polynôme diviseur \(d\), et on note :
\[(q,r) = \division(p,d)\]
si :
\[ p(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x) \]
avec :
\[ q(x) = \sum_{i=0}^{n-m} q_i \cdot x^i \]
et :
\[ r(x) = \sum_{i=0}^{p} r_i \cdot x^i \]
où \(p \strictinferieur m \le n\).
5.2. Méthode de Ruffini-Horner
5.2.1. Introduction
La méthode de Horner permet de diviser un polynôme \(p\) de degré \(n\) :
\[ p(x) = \sum_{i = 0}^n p_i \cdot x^i \]
par un polynôme \(d\) du type :
\[ d(x) = x - a \]
Le polynôme diviseur \(d\) est donc de degré 1. Le polynôme quotient doit donc être de degré \(n - 1\), soit :
\[ q(x) = \sum_{i = 0}^{n - 1} q_i \cdot x^i \]
Le reste \(r\) devant être de degré \(p \strictinferieur 1\), il est forcément de degré 0, soit :
\[ r(x) = R \]
La division euclidienne polynômiale s’écrit :
\[ p(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x) \]
ou encore :
\[ p(x) = (x-a) \cdot q(x) + R \]
5.2.2. Valeur du polynôme au point \(a\)
En évaluant la division euclidienne polynômiale en \(x = a\), on obtient :
\[ p(a) = (a-a) \cdot q(x) + R = 0 + R = R \]
Le reste est donc égal à la valeur du polynôme \(p\) au point \(a\).
5.2.3. Racine au point \(a\)
Si le reste \(R\) est nul, on a :
\[ p(a) = (a-a) \cdot q(x) + R = 0 + 0 = 0 \]
La valeur \(a\) est alors une racine du polynôme \(p\).
Inversément, si \(p(a) = 0\), on a :
\[ 0 = p(a) = (a-a) \cdot q(x) + R \]
et donc :
\[ R = 0 \]
5.2.4. Calcul du polynôme quotient et du reste
Examinons à présent plus en détail la division euclidienne polynômiale :
\[ \sum_{i=0}^n p_i \cdot x^i = (x - a) \sum_{i=1}^{n-1} \left(q_i \cdot x^i\right) + R \]
En comparant les termes de même puissance en \(x\), on obtient :
\begin{align*} q_{n-1} &= p_n \\ q_{n-2} - a \cdot q_{n-1} &= p_{n-1} \\ \ldots & \ldots \\ q_{i-1} - a \cdot q_i &= p_i \\ \ldots &= \ldots \\ q_0 - a \cdot q_1 &= p_1 \\ - a \cdot q_0 + R &= p_0 \end{align*}Ces relations nous permettent d’évaluer les coefficients du quotient de manière récursive :
\begin{align*} q_{n-1} &= p_n \\ q_{n-2} &= p_{n-1} + a \cdot q_{n-1} \\ \ldots & \ldots \\ q_{i-1} &= p_i + a \cdot q_i \\ \ldots & \ldots \\ q_0 &= p_1 + a \cdot q_1 \\ R &= p_0 + a \cdot q_0 \end{align*}5.2.5. Factorisation d’une différence de puissances
Nous avons déjà vu dans le chapitre sur les progressions un résultat permettant de factoriser une différence de puissances La méthode de Horner fournit une autre technique permettant d’arriver au même résultat.
Soit le polynôme :
\[ p(x) = x^n - a^n \]
pour un certain \(a\in\corps\). On a clairement :
\[ p(a) = a^n - a^n = 0 \]
La valeur \(a\) est donc une racine de \(p\). Si on utilise la méthode de Horner pour diviser \(p\) par \(x - a\), on aura un reste nul et :
\[ p(x) = (x - a) \cdot q(x) \]
où \(q\) est un polynôme de degré \(n-1\) :
\[ q(x) = \sum_{i=0}^{n-1} q_i \cdot x^i \]
Suivant la méthode, les coefficients successifs s’écrivent :
\begin{align*} q_{n-1} &= 1 \\ q_{n-2} &= 0 + a \cdot 1 = a \\ q_{n-3} &= 0 + a \cdot a = a^2 \\ q_{n-4} &= 0 + a \cdot a^2 = a^3 \\ \ldots & \ldots \\ q_{n - 1 - i} &= a^i \\ \ldots & \ldots \\ q_0 &= a^{n - 1} \\ R &= -a^n + a^n = 0 \end{align*}Le polynôme \(q\) peut donc se réécrire :
\[ q(x) = \sum_{i = 0}^{n-1} x^{n - 1 - i} \cdot a^i \]
ce qui nous donne l’expression suivante pour la factorisation de \(p\) :
\[ p(x) = x^n - a^n = (x - a) \cdot \sum_{i = 0}^{n-1} x^{n - 1 - i} \cdot a^i \]
6. Racines
On dit que \(r\) est une racine ou un zéro du polynôme \(p\) si :
\[p(r) = 0\]
Nous allons montrer que tout polynôme de degré \(n\) non nul admet au plus \(n\) racines distinctes.
Ce qui revient à dire que si un polynôme de degré \(n\) admet \(m+1\) racines distinctes avec \(m \ge n\), alors ce polynôme est forcément nul.
Soit \(n = 0\). Considérons un polynôme \(p_0\) de degré 0, défini par \(p_0(x) = a_0\) pour un certain \(a_0 \in \corps\). On a \(n + 1 = 1\). Si on peut trouver au moins un \(x_0 \in \corps\) qui est racine de \(p_0\), on a :
\[ p_0(x_0) = a_0 = 0 \]
On en conclut que \(a_0 = 0\) et que \(p_0(x) = 0\) pour tout \(x \in \corps\), ce qui revient à dire que \(p_0 = 0\). La thèse est donc vérifiée pour \(n = 0\).
A présent, supposons que l'affirmation soit vraie pour \(n - 1\). Choisissons un polynôme \(p_n\) de degré \(n\) :
\[p_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i\]
Supposons que \(p\) possède \(m+1\) racines
\[p_n(x_0) = p_n(x_1) = ... = p_n(x_m) = 0\]
avec \(m \ge n\) et :
\[x_0 \strictinferieur x_1 \strictinferieur ... \strictinferieur x_m\]
On a alors :
\[p_n(x) = p_n(x) - p_n(x_0) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot (x^i - x_0^i)\]
Nous pouvons factoriser chaque différence de puissances intervenant dans la somme :
\[x^i - x_0^i = (x - x_0) \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 -j}\]
on en déduit que :
\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x)\]
où le polynôme \(q_{n - 1}\) est défini par :
\[q_{n - 1}(x) = \sum_{i = 1}^n a_i \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 - j}\]
Cette expression ne faisant intervenir que les puissances \(1,x,...,x^{n-1}\), on voit que \(q_{n-1} \in \mathcal{P}_n\) est de degré \(n-1\). Considérons les cas des racines \(x_k\in\{x_1, x_2, ...,x_m\}\) de \(p_n\). On a :
\[0 = p_n(x_k) = (x_k - x_0) \cdot q_{n-1}(x_k)\]
Comme \(x_k - x_0 \ne 0\), on peut multiplier par \((x_k - x_0)^{-1}\) pour obtenir :
\[q_{n-1}(x_k) = \frac{p_{n-1}(x_k)}{x_k - x_0} = 0\]
Le polynôme \(q_{n-1}\) possède par conséquent au moins \(m \ge n\) racines distinctes. Il est dès lors nul par l'hypothèse de récurrence. La factorisation de \(p_n\) devient alors :
\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x) = 0\]
pour tout \(x \in \corps\). Le polynôme \(p_n\) est également nul et la thèse est démontrée.
6.1. Egalité
Si deux polynômes \(p_1,p_2 \in \mathcal{P}_n\) sont égaux en \(m + 1 \ge n + 1\) points distincts, alors le polynôme de degré \(n\) :
\[h = p_1 - p_2\]
admet \(m+1\) racines. Il est donc nul et \(p_1 = p_2\).
7. Factorisation
Choisissons un polynôme \(p\in\mathcal{P}_n\) qui admet \(n\) racines distinctes \(x_1,x_2,...,x_n\). Soit alors \(x_0 \notin \{x_1,...,x_n\}\) et :
\[A = \frac{p(x_0)}{\prod_{i = 1}^n (x_0 - x_i)}\]
On voit que le polynôme :
\[q(x) = A \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]
est égal à \(p\) en chacune des racines :
\[p(x_i) = q(x_i) = 0 \qquad i = 1,2,...,n\]
Mais par la définition de \(A\), on a aussi :
\[p(x_0) = q(x_0)\]
Les deux polynômes sont donc égaux en \(n+1\) points distincts. Comme ils sont tous deux de degré \(n\), on en déduit que \(p = q\). Les coefficients doivent donc tous être égaux, et comme :
\[ p(x) = a_n \cdot x^n + \sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \cdot x^i \]
\[ q(x) = A \cdot x^n + \sum_{i = 0}^{n - 1} b_i(x_1,...,x_n) \cdot x^i \]
on a \(A = a_n\) et :
\[p(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]