Eclats de vers : Matemat : Progressions
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:progressions}
1. Arithmétique
Soit \(n \in \setN\). Nous allons tenter d'évaluer la somme :
\[S_n = \sum_{i = 0}^n i = 0 + 1 + 2 + ... + n\]
L'idée est d'exprimer que cette somme est équivalente à :
\[(n - 0) + (n - 1) + ... + (n - n)\]
Si nous posons \(j\) tel que \(i = n - j\), on voit que l'on a \(j = n -i\) et \(0 \le j \le n\). Donc :
\[S_n = \sum_{j = 0}^n (n-j)\]
Développons :
\[\sum_{j = 0}^n (n-j) = \sum_{j = 0}^{n} n - \sum_{j = 0}^{n} j\]
Le premier terme du membre de droite peut se réécrire :
\[\sum_{j = 0}^n n = n \cdot \sum_{j = 0}^{n} 1 = n \cdot (n + 1)\]
Pour le second, on a clairement :
\[\sum_{j = 0}^n j = S_n\]
On en conclut que :
\[S_n = n \cdot (n + 1) - S_n\]
c'est-à-dire :
\[2 S_n = n \cdot (n + 1)\]
Divisant par \(2\), on obtient le résultat final :
\[\sum_{i = 0}^{n} i = \frac{ n \cdot (n + 1) }{ 2 }\]
2. Géométrique
Soit \(n \in \setN\) et \(a \in \corps\). Nous allons rechercher une expression de la somme :
\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + a + a^2 + ... + a^n\]
Si \(a = 1\), on a simplement :
\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + ... + 1 = n\]
Intéressons-nous à présent au cas où \(a \ne 1\). On part du constat que la somme \(G_n\) est équivalente à :
\[1 + a \cdot (1 + a + a^2 + ... + a^n) - a^{n+1}\]
On développe en ce sens :
\begin{align} G_n &= 1 + \sum_{i = 1}^n a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^n a^i - a^{n + 1} \end{align}et finalement, on arrive à l'équation implicite :
\[G_n = 1 + a \cdot G_n - a^{n + 1}\]
En soustrayant \(a \cdot G_n\) des deux membres, on obtient :
\[(1 - a) \cdot G_n = 1 - a^{n + 1}\]
Comme \(a \ne 1\), on en déduit que :
\[\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{ 1 - a^{n + 1} }{ 1 - a }\]
2.1. Autre forme
En multipliant numérateur et dénominateur par \(-1\), on obtient la forme équivalente :
\[\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1}\]
3. Factorisation
\label{sec:factorisation_progression_geometrique}
Les progressions géométriques permettent d'obtenir une importante formule de factorisation. Soit \(a,b \in \corps\) avec \(a \ne 0\). Posons :
\[r = \frac{b}{a}\]
On a alors :
\[(1 - r) \cdot \sum_{i = 0}^n r^i = 1 - r^{n + 1}\]
Multipliant par \(a^{n + 1}\), on obtient :
\[(a - b) \cdot a^n \cdot \sum_{i = 0}^n \frac{b^i}{a^i} = a^{n + 1} - b^{n + 1}\]
En faisant rentrer le facteur \(a^n\) dans la somme, on a en définitive :
\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i\]
3.1. Extension
Si \(a = 0\), on a :
\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = - b^{n + 1}\]
et :
\begin{align} (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i &= -b \cdot (0^n + 0^{n -1} \cdot b + ... + 0 \cdot b^{n - 1} + b^n) \) \( &= -b \cdot b^n = - b^{n + 1} \end{align}La formule de factorisation est donc valable pour tout \(a,b \in \corps\).
3.2. Exemples
Voici quelques exemples d'applications :
\begin{align} a^{2} - b^{2} &= (a - b) \cdot (a + b) \\ a^{3} - b^{3} &= (a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2) \end{align}3.3. Symétrie
On a clairement :
\[\sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i = a^n + a^{n - 1} \cdot b + ... + a \cdot b^{n - 1} + b^n = \sum_{i = 0}^n a^i \cdot b^{n - i}\]
et donc :
\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^i \cdot b^{n - i}\]
4. Somme des carrés
Considérons la somme :
\[C_n = \sum_{i = 0}^n i^2 = 1 + 4 + 16 + ... + n^2\]
La progression arythmétique nous dit que :
\[\frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{j=0}^i j\]
On a par conséquent :
\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j\]
On peut utiliser le lemme du triangle pour inverser les deux sommes du membre de droite :
\[\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j = \sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j\]
Comme \(j\) ne dépend pas de \(i\), on peut le faire sortir de la somme sur \(i\) et le membre de droite devient :
\[\sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j = \sum_{j = 0}^n j \sum_{i = j}^n 1 = \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1)\]
En tenant compte de la linéarité des sommes, on a alors :
\begin{align} \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1) &= (n + 1) \cdot \sum_{j = 0}^n j - \sum_{j = 0}^n j^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)^2 - C_n \end{align}D'un autre côté, on a :
\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n (i^2 + i) = \frac{1}{2} \cdot C_n + \frac{1}{4} \cdot n \cdot (n + 1)\]
En égalisant ces deux expressions, on obtient :
\[\frac{3}{2} \cdot C_n = \frac{1}{4} \cdot \Big[ 2 \cdot n \cdot (n + 1)^2 - n \cdot (n + 1) \Big]\]
Ou encore :
\begin{align} 6 \cdot C_n &= ( 2 \cdot n \cdot (n + 1) - n ) \cdot (n + 1) \\ &= ( 2 \cdot n^2 + n ) \cdot (n + 1) \end{align}On a donc la formule permettant d'évaluer la somme des carrés :
\[\sum_{i = 0}^n i^2 = \frac{ (2 \cdot n^2 + n) \cdot (n + 1) }{ 6 }\]