Eclats de vers : Matemat : Progressions

Soit \(n \in \setN\). Nous allons tenter d'évaluer la somme :

\[S_n = \sum_{i = 0}^n i = 0 + 1 + 2 + ... + n\]

L'idée est d'exprimer que cette somme est équivalente à :

\[(n - 0) + (n - 1) + ... + (n - n)\]

Si nous posons \(j\) tel que \(i = n - j\), on voit que l'on a \(j = n -i\) et \(0 \le j \le n\). Donc :

\[S_n = \sum_{j = 0}^n (n-j)\]

Développons :

\[\sum_{j = 0}^n (n-j) = \sum_{j = 0}^{n} n - \sum_{j = 0}^{n} j\]

Le premier terme du membre de droite peut se réécrire :

\[\sum_{j = 0}^n n = n \cdot \sum_{j = 0}^{n} 1 = n \cdot (n + 1)\]

Pour le second, on a clairement :

\[\sum_{j = 0}^n j = S_n\]

On en conclut que :

\[S_n = n \cdot (n + 1) - S_n\]

c'est-à-dire :

\[2 S_n = n \cdot (n + 1)\]

Divisant par \(2\), on obtient le résultat final :

\[\sum_{i = 0}^{n} i = \frac{ n \cdot (n + 1) }{ 2 }\]

Soit \(n \in \setN\) et \(a \in \corps\). Nous allons rechercher une expression de la somme :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + a + a^2 + ... + a^n\]

Si \(a = 1\), on a simplement :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + ... + 1 = n\]

Intéressons-nous à présent au cas où \(a \ne 1\). On part du constat que la somme \(G_n\) est équivalente à :

\[1 + a \cdot (1 + a + a^2 + ... + a^n) - a^{n+1}\]

On développe en ce sens :

\begin{align} G_n &= 1 + \sum_{i = 1}^n a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^n a^i - a^{n + 1} \end{align}

et finalement, on arrive à l'équation implicite :

\[G_n = 1 + a \cdot G_n - a^{n + 1}\]

En soustrayant \(a \cdot G_n\) des deux membres, on obtient :

\[(1 - a) \cdot G_n = 1 - a^{n + 1}\]

Comme \(a \ne 1\), on en déduit que :

\[\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{ 1 - a^{n + 1} }{ 1 - a }\]

:CUSTOM_ID: heading:factorisation_{progressiongeometrique}

Les progressions géométriques permettent d'obtenir une importante formule de factorisation. Soit \(a,b \in \corps\) avec \(a \ne 0\). Posons :

\[r = \frac{b}{a}\]

On a alors :

\[(1 - r) \cdot \sum_{i = 0}^n r^i = 1 - r^{n + 1}\]

Multipliant par \(a^{n + 1}\), on obtient :

\[(a - b) \cdot a^n \cdot \sum_{i = 0}^n \frac{b^i}{a^i} = a^{n + 1} - b^{n + 1}\]

En faisant rentrer le facteur \(a^n\) dans la somme, on a en définitive :

\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i\]

Considérons la somme :

\[C_n = \sum_{i = 0}^n i^2 = 1 + 4 + 16 + ... + n^2\]

La progression arythmétique nous dit que :

\[\frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{j=0}^i j\]

On a par conséquent :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j\]

On peut utiliser le lemme du triangle pour inverser les deux sommes du membre de droite :

\[\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j = \sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j\]

Comme \(j\) ne dépend pas de \(i\), on peut le faire sortir de la somme sur \(i\) et le membre de droite devient :

\[\sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j = \sum_{j = 0}^n j \sum_{i = j}^n 1 = \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1)\]

En tenant compte de la linéarité des sommes, on a alors :

\begin{align} \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1) &= (n + 1) \cdot \sum_{j = 0}^n j - \sum_{j = 0}^n j^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)^2 - C_n \end{align}

D'un autre côté, on a :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n (i^2 + i) = \frac{1}{2} \cdot C_n + \frac{1}{4} \cdot n \cdot (n + 1)\]

En égalisant ces deux expressions, on obtient :

\[\frac{3}{2} \cdot C_n = \frac{1}{4} \cdot \Big[ 2 \cdot n \cdot (n + 1)^2 - n \cdot (n + 1) \Big]\]

Ou encore :

\begin{align} 6 \cdot C_n &= ( 2 \cdot n \cdot (n + 1) - n ) \cdot (n + 1) \\ &= ( 2 \cdot n^2 + n ) \cdot (n + 1) \end{align}

On a donc la formule permettant d'évaluer la somme des carrés :

\[\sum_{i = 0}^n i^2 = \frac{ (2 \cdot n^2 + n) \cdot (n + 1) }{ 6 }\]