Eclats de vers : Matemat : Constructions de mandalas

Soit deux points distincts \(O_1\) et \(O_2\) séparés par une distance \(r\). La vesica piscis se construit en traçant deux cercles \(\mathscr{C}_1(O_1,r)\) et \(\mathscr{C}_2(O_2,r)\) :

Le nom provient de la forme du milieu, qui rappelle un poisson.

Voici les étapes de cette construction :

1. choisir deux points distincts \(O_1\) et \(O_2\)
2. on note \(r = \abs{O_1 O_2}\)
3. tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(O_1\) et de rayon \(r\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(O_2\) et de rayon \(r\)

Comme \(r\) est la distance entre \(O_1\) et \(O_2\), chaque centre se trouve sur l’autre cercle :

\[ O_1 \in \mathscr{C}_2(O_2,r) \qquad \qquad \qquad O_2 \in \mathscr{C}_1(O_1,r) \]

Cette figure sert de base à de nombreuses autres.

Le schéma suivant illustre la construction d’une vesica piscis double :

Voici les étapes de cette construction :

1. choisir deux points distincts \(O_1\) et \(O_2\)
2. on note \(r = \abs{O_1 O_2}\)
3. tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(O_1\) et de rayon \(r\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(O_2\) et de rayon \(r\)
5. on note \(I\) et \(J\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\)
6. on note \(M\) le point d’intersection des droites \((IJ)\) et \((O_1 O_2)\)
7. tracer le cercle intermédiaire \(\mathscr{C}_3\), de centre \(M\) et de rayon \(r\)
8. on note \(K\) et \(L\) les points d’intersections de \((IJ)\) avec \(\mathscr{C}_3\)
9. tracer le cercle \(\mathscr{C}_4\), de centre \(O_1\) et passant par \(K\) et \(L\)
10. tracer le cercle \(\mathscr{C}_5\), de centre \(O_2\) et passant par \(K\) et \(L\)

Les propriétés du cercle intermédiaire nous garantissent que \(\mathscr{C}_4\) et \(\mathscr{C}_5\) sont de rayon :

\[ \abs{K O_1} = \abs{K O_2} = r \ \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Pour construire une triquetra, on commence par dessiner une vesica piscis. Ensuite, on trace un cercle de même rayon dont le centre est situé sur une des intersections des deux premiers cercles :

Voici les étapes de cette construction :

1. choisir deux points distincts \(O_1\) et \(O_2\)
2. on note \(r = \abs{O_1 O_2}\)
3. tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(O_1\) et de rayon \(r\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(O_2\) et de rayon \(r\)
5. on note \(I\) et \(J\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\)
6. tracer le cercle \(\mathscr{C}_3\), de centre \(J\) et de rayon \(r\)

On peut aussi choisir \(I\) comme centre du troisième cercle :

Le schéma ci-dessous illustre la construction d’une graine de vie :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. tracer le cercle \(\mathscr{C}\), de centre \(O\) et de rayon \(r\)
2. choisir le point \(P_1\) sur \(\mathscr{C}\)
3. on note \(P_4\) intersection de \(\mathscr{C}\) avec \(O P_1\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(P_1\) et de rayon \(r\)
5. on note \(P_2\) et \(P_6\) les intersections de \(\mathscr{C}\) avec \(\mathscr{C}_1\)
6. tracer le cercle \(\mathscr{C}_4\), de centre \(P_4\) et de rayon \(r\)
7. on note \(P_3\) et \(P_5\) les intersections de \(\mathscr{C}\) avec \(\mathscr{C}_4\)
8. tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(P_2\) et de rayon \(r\)
9. tracer le cercle \(\mathscr{C}_3\), de centre \(P_3\) et de rayon \(r\)
10. tracer le cercle \(\mathscr{C}_5\), de centre \(P_5\) et de rayon \(r\)
11. tracer le cercle \(\mathscr{C}_6\), de centre \(P_6\) et de rayon \(r\)

La construction ressemble à celle de l’hexagone régulier. La structure des angles et des longueurs est la même dans les deux cas.

La construction est similaire à la graine de vie, mais on ne reprend que les arcs de cercles intérieurs au cercle principal :

En utilisant la graine de vie, on peut obtenir une structure évoquant un flocon de neige :

Si on ne reprend qu’une moitié de chaque arc de cercle du germe de vie, on obtient une structure en forme de moulin :

On construit une fleur de vie en partant d’une graine de vie, puis en utilisant les nouveaux points d’intersections entre les cercles pour tracer de nouveaux cercles de même rayon. On peut continuer ainsi indéfiniment. En voici un exemple :

Le fruit de vie se construit en étendant les diamètres de l’hexagone régulier, puis en traçant deux couches de cercles empilés autour du cercle principal :

Le cube de Metatron se construit en partant du fruit de vie et en traçant les segments qui relient les centres des cercles. On y retrouve entre-autres des hexagones réguliers et leurs diagonales :

Le schéma ci-dessous illustre la construction d’un tore de vie :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

• tracer le cercle \(\mathscr{C}\), de centre \(O\) et de rayon \(r\)
• tracer la graine de vie autour de \(\mathscr{C}\)
  • ce qui nous donne les points \(P_1\), \(P_2\), \(\ldots\), \(P_6\)
• on note \(I_1\), \(I_2\), \(\ldots\), \(I_6\) les points d’intersections entre chaque paire de cercles parmi \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\), \(\ldots\), \(\mathscr{C}_6\)
• on note \(J_1\) à \(J_6\) les points d’intersections entre \(\mathscr{C}\) et chacun des segments \([I_1,I_4]\), \([I_2,I_5]\) et \([I_3,I_6]\)
• on trace les cercles de centres \(J_1\) à \(J_6\) et de rayon \(r\)

On peut continuer à utiliser des intersections pour tracer encore plus de cercles dont les centres sont situés sur \(\mathscr{C}\). En voici un exemple avec \(24\) cercles autour du cercle principal :

D’après une idée dévéloppée dans cette vidéo d’Howard Crowhurst.

La construction suivante utilise des triangles de Pythagore \(3,4,5\) pour tracer une forme ovoïde :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. tracer la droite \(d\)
2. choisir les points \(A\) et \(B\) sur \(d\), distants de \(4\) unités
3. tracer la droite \(f\), perpendiculaire à \(d\) au point \(A\)
4. on note \(D\) et \(E\) les points appartenant à \(f\) et distants de \(3\) unités du point \(A\)
   • les triangles \(ABD\) et \(ABE\) sont des triangles \(3,4,5\)
5. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(A\) et de rayon \(4\)
6. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(E\) et de rayon \(7\)
   • on note \(I\) l’intersection de \(\mathscr{C}_2\) avec \((EB)\)
7. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}_3\), de centre \(D\) et de rayon \(7\)
   • on note \(J\) l’intersection de \(\mathscr{C}_3\) avec \((DB)\)
8. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}_4\), de centre \(B\) et passant par \(I\)