Eclats de vers : Matemat : Constructions de polygones

Pour construire un hexagone, on utilise l’égalité entre la longueur du côté et le rayon du cercle circonscrit :

Voici les étapes détaillées de cette méthode de construction :

1. tracer le cercle circonscrit \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\)
2. choisir un point \(P_1\) sur \(\mathscr{C}\), qui deviendra un des sommets de l’hexagone
3. tracer la droite \(d = (O P_1)\)
   • \(P_1\) est par construction un point d’intersection de \(d\) avec \(\mathscr{C}\)
   • on note \(P_4\) le second point d’intersection de \(d\) avec \(\mathscr{C}\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(P_1\) et de rayon \(r\)
   • on note \(P_2\) et \(P_6\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) avec \(\mathscr{C}\)
5. tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(P_4\) et de rayon \(r\)
   • on note \(P_3\) et \(P_5\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_2\) avec \(\mathscr{C}\)
6. tracer les côtés \([P_1,P_2]\), \([P_2,P_3]\), …, \([P_5,P_6]\), \([P_6,P_1]\)

En effet, comme \(P_1\) est un sommet de l’hexagone, le diamètre \([P_1,P_4]\) est une $2$-diagonale, ce qui implique que \(P_4\) est aussi un sommet.

Les points \(P_2\) et \(P_6\) sont aussi des sommets, car ils appartiennent au cercle circonscrit et sont à distance \(r\) du sommet \(P_1\).

Les points \(P_3\) et \(P_5\) sont aussi des sommets, car ils appartiennent au cercle circonscrit et sont à distance \(r\) du sommet \(P_4\).

Il suffit de relier ces six sommets :

\[ P_1, P_2, \ldots, P_6 \]

pour compléter l’hexagone régulier.

diamètre et perpendiculaire bissectrices

hexagone hexagramme diamètres intersections

pentagone pentagramme diamètres passant par les sommets et les intersections opposées