Eclats de vers : Matemat : Applications adjointes

Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels munis de produits scalaires et l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Si \(A^\dual : F \mapsto E\) est l'unique fonction de \(E^F\) vérifiant :

\[\scalaire{v}{A(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{u}\]

pour tout \((u,v) \in E \times F\), on dit que \(A^\dual\) est l'application duale (ou adjointe) de \(A\). Nous supposons dans la suite que les applications rencontrées possèdent une application adjointe.

Il existe aussi un concept analogue au sens des formes linéaires. Voir la section sur les applications duales dans le chapitre sur les formes linéaires.

Les notions étant similaires, nous nous concentrons dans ce chapitre sur les applications adjointes au sens du produit scalaire.

On remarque que :

\[\scalaire{u}{A^\dual(v)} = \conjaccent{\scalaire{A^\dual(v)}{u}} = \conjaccent{\scalaire{v}{A(u)}} = \scalaire{A(u)}{v}\]

pour tout \((u,v) \in E \times F\). On a donc :

\[\left( A^\dual \right)^\dual = A\]

Comme :

\[\scalaire{v}{\identite(u)} = \scalaire{\identite(v)}{u} = \scalaire{v}{u}\]

on a bien évidemment \(\identite^\dual = \identite\).

Soit \(u,v \in E\), \(x,y \in F\) et \(\alpha, \beta \in \corps\). On a :

\begin{align*} \scalaire{A^\dual(\alpha \cdot x + \beta \cdot y)}{u} &= \scalaire{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{A(u)} \\ &= \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{x}{A(u)} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{y}{A(u)} \\ &= \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{A^\dual(x)}{u} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{A^\dual(y)}{u} \\ &=\scalaire{\alpha \cdot A^\dual(x) + \beta \cdot A^\dual(y)}{u} \end{align*}

Comme ce doit être valable pour tout \(u \in E\), on en conclut que l'application adjointe est linéaire :

\[A^\dual(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot A^\dual(x) + \beta \cdot A^\dual(y)\]

Soit deux applications linéaires \(A,B : E \mapsto F\) et \(\alpha,\beta \in \corps\). Si \((u,v) \in E \times F\), on a :

\begin{align*} \scalaire{(\conjaccent{\alpha} \cdot A^\dual + \conjaccent{\beta} \cdot B^\dual)(v)}{u} &= \alpha \cdot \scalaire{A^\dual(v)}{u} + \beta \cdot \scalaire{B^\dual(v)}{u} \\ &= \alpha \cdot \scalaire{v}{A(u)} + \beta \cdot \scalaire{v}{A(u)} \\ &= \scalaire{v}{(\alpha \cdot A + \beta \cdot B)(u)} \end{align*}

On en conclut que :

\[(\alpha \cdot A + \beta \cdot B)^\dual = \conjaccent{\alpha} \cdot A^\dual + \conjaccent{\beta} \cdot B^\dual\]

L'opérateur \(^\dual : A \mapsto A^\dual\) est antilinéaire.

Supposons que \(A\) soit inversible. On a :

On en conclut que \(A^\dual\) est également inversible et que :

\[(A^\dual)^{-1} = (A^{-1})^\dual\]

Soit un troisième espace vectoriel \(G\). Si les applications adjointes des applications linéaires \(B : E \mapsto F\) et \(A : F \mapsto G\) existent, on a :

\[\scalaire{v}{(A \circ B)(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{B(u)} = \scalaire{(B^\dual \circ A^\dual)(v)}{u}\]

pour tout \((u,v) \in E \times G\). On en conclut que :

\[(A \circ B)^\dual = B^\dual \circ A^\dual\]

Si \(E = F\) et \(A = A^\dual\), on dit que \(A\) est hermitienne ou auto-adjointe.

Nous allons voir que nous pouvons construire deux applications auto-adjointes à partir de n'importe quelle application linéaire \(A : E \mapsto F\) admettant une application duale \(A^\dual : F \mapsto E\).

• L'application \(A^\dual \circ A : E \mapsto E\) vérifie :

\[\scalaire{A^\dual \circ A(v)}{u} = \scalaire{A(v)}{A(u)} = \scalaire{v}{A^\dual \circ A(u)}\]

pour tout \(u,v \in E\). On en déduit que :

\[(A^\dual \circ A)^\dual = A^\dual \circ A\]

• L'application \(A \circ A^\dual : F \mapsto F\) vérifie :

\[\scalaire{A \circ A^\dual(x)}{y} =\scalaire{A^\dual(x)}{A^\dual(y)} = \scalaire{x}{A \circ A^\dual(y)}\]

pour tout \(x,y \in F\). On en déduit que :

\[(A \circ A^\dual)^\dual = A \circ A^\dual\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\) et la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) représentant l'application linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\). Soit \(A^\dual \in \matrice(\corps,n,m)\) représentant \(\mathcal{A}^\dual\). On a :

\[\scalaire{y}{ \mathcal{A}(x) } = \conjaccent{y^T} \cdot A \cdot x\]

ainsi que :

\[\scalaire{\mathcal{A}^\dual(y)}{ x } = \big( \conjaccent{A^\dual} \cdot \conjaccent{y} \big)^T \cdot x = \conjaccent{y^T} \cdot \big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T \cdot x\]

Les deux produits scalaires devant être égaux par définition de la dualité, on doit clairement avoir :

\[\big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T = A\]

c'est-à-dire :

\[A^\dual = \conjaccent{A^T} = \conjugue A^T\]

Ce résultat prouve l'existence et l'unicité de l'adjoint dans le cas d'espaces de dimension finie.

Dans le cas d'une matrice réelle, on a \(\conjaccent{A} = A\) et :

\[A^\dual = A^T\]

Soit les applications linéaires \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\) et \(\mathcal{B} : \corps^p \mapsto \corps^n\), respectivement représentées par les matrices \(A\) et \(B\). On sait que :

\[(\mathcal{A} \circ \mathcal{B})^\dual = \mathcal{B}^\dual \circ \mathcal{A}^\dual\]

Comme le produit matriciel \(A \cdot B\) représente la composée \(\mathcal{A} \circ \mathcal{B}\) et que \(B^\dual \cdot A^\dual\) représente \(\mathcal{B}^\dual \circ \mathcal{A}^\dual\), on doit avoir :

\[(A \cdot B)^\dual = B^\dual \cdot A^\dual\]

pour toutes matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) de dimensions compatibles pour la multiplication.