Eclats de vers : Matemat : Formes linéaires
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:forme}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
- Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires
2. Définition
Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\). Une forme linéaire est une fonction linéaire continue \(\varphi : E \mapsto \corps\).
3. Espace dual
L'espace dual \(E^\dual\) de \(E\) est l'ensemble des formes linéaires sur \(E\) , autrement dit l'ensemble des fonctions linéaires continues de \(E\) vers \(\corps\) :
\[E^\dual = \{ \varphi \in \lineaire(E,\corps) : \norme{\varphi}_\lineaire \strictinferieur +\infty \}\]
Il s'agit d'un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication mixte définies sur les fonctions.
4. Notation
Pour toute forme \(\varphi \in E^\dual\) et tout vecteur \(v \in E\), on note :
\[\forme{\varphi}{v} = \varphi(v)\]
ce qui définit implicitement la fonction \(\forme{}{} : E^\dual \times E \mapsto \corps\).
5. Bilinéarité
Soit \(\varphi,\psi \in E^\dual\), \(u,v \in E\) et \(\alpha,\beta \in S\). Comme \(\varphi\) est linéaire, on a :
\[\forme{\varphi}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\varphi}{v}\]
Symétriquement, la définition des opérations sur les fonctions nous donne également :
\[\forme{\alpha \cdot \varphi + \beta \cdot \psi}{u} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\psi}{u}\]
L'application \(\forme{}{}\) est donc bilinéaire.
6. Biorthonormalité
On dit que les suites \((\Phi_1,...,\Phi_m)\) de \(E^\dual\) et \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) sont biorthonormées si :
\[\forme{\Phi_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]
pour tout \((i,j) \in \setZ(0,m) \times \setZ(0,n)\). De telles suites permettent d'évaluer facilement les coefficients des développements en série du type :
\[\varphi = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \Phi_i\]
où \(\alpha_1,...,\alpha_m \in S\). En effet, il suffit d'évaluer :
\[\varphi(e_j) = \forme{\varphi}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} = \alpha_j\]
pour obtenir les valeurs des \(\alpha_j\).
Réciproquement, si :
\[u = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot e_i\]
avec \(\beta_1,...,\beta_n \in S\), on a :
\[\Phi_j(u) = \forme{\Phi_j}{u} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \forme{\Phi_j}{e_i} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \indicatrice_{ij} = \beta_j\]
ce qui nous donne les valeurs des \(\beta_j\).
Forts de ces résultats, il est aisé d'évaluer :
\[\forme{\varphi}{u} = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{u_j} \cdot \beta_j = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} \cdot \beta_j = \sum_i \alpha_i \cdot \beta_i\]
On a donc en définitive :
\[\forme{\varphi}{u} = \sum_i \forme{\varphi}{e_i} \cdot \forme{\Phi_i}{u}\]
7. Similitude
On dit que deux fonctions \(u,v \in E\) sont identique au sens des distributions si :
\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\varphi}{v}\]
pour tout \(\varphi \in E^\dual\).
Symétriquement, les deux formes \(\varphi,\psi \in E^\dual\) sont identiques par définition si et seulement si :
\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\psi}{u}\]
pour tout \(u \in E\).
8. Espace bidual
On définit l'espace bidual de \(E\), noté \(E^{\dual \dual}\), par :
\[E^{\dual \dual} = (E^\dual)^\dual\]
On associe à chaque élément \(u \in E\) un élément \(\hat{u} \in E^{\dual \dual}\) par la condition :
\[\hat{u}(\varphi) = \varphi(u)\]
qui doit être vérifiée pour tout \(\varphi \in E^\dual\). On a donc :
\[\forme{\hat{u}}{\varphi} = \forme{\varphi}{u}\]
9. Application duale
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et une fonction \(A : E \mapsto F\). Le dual de \(A\) au sens des formes, s'il existe, est l'unique fonction \(A^\dual : F^\dual \mapsto E^\dual\) telle que :
\[\forme{ A^\dual(\varphi) }{u} = \forme{\varphi}{ A(u) }\]
pour tout \(u \in E\) et \(\varphi \in F^\dual\).
10. Formes bilinéaires
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\). Une forme bilinéaire est une fonction bilinéaire continue \(\vartheta : F \times E \mapsto \corps\). On utilise une notation analogue à celle des formes :
\[\biforme{x}{\vartheta}{u} = \vartheta(x,u)\]
pour tout \(x \in F\) et \(u \in E\). On voit que :
\( \biforme{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{\vartheta}{u} = \alpha \cdot \biforme{x}{\vartheta}{u} + \beta \cdot \biforme{y}{\vartheta}{u} \)
\( \biforme{x}{\vartheta}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \biforme{x}{\vartheta}{u} + \beta \cdot \biforme{x}{\vartheta}{v} \)
pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\), \(u,v \in E\) et \(x,y \in F\).
11. Formes quadratiques
Soit la forme bilinéaire $ ϑ : E × E \mapsto \corps$. Une forme quadratique \(\mathcal{Q} : E \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :
\[\mathcal{Q}(x) = \biforme{x}{\vartheta}{x}\]
12. Représentation matricielle
On peut représenter toute forme linéaire \(\varphi \in \lineaire(\corps^n,\corps)\) par un vecteur matriciel \(\hat{\varphi} \in \corps^n\). Etant donné la base canonique \((e_1,...,e_n)\) de \(\corps^n\), il suffit de poser :
\[\hat{\varphi}_i = \forme{\varphi}{e_i}\]
pour avoir :
\[\forme{\varphi}{u} = \hat{\varphi}^T \cdot u\]
pour tout \(u \in \corps^n\).
12.1. Formes bilinéaires
On peut représenter toute forme bilinéaire \(\vartheta \in \lineaire(\corps^m \times \corps^n,\corps)\) par une matrice \(\Theta \in \matrice(K,m,n)\). Etant donné les bases canoniques \((f_1,...,f_m)\) de \(\corps^m\) et \((e_1,...,e_n)\) de \(\corps^n\), il suffit de poser :
\[\composante_{ij} \Theta = \biforme{f_i}{\vartheta}{e_j}\]
pour avoir :
\[\biforme{v}{\vartheta}{u} = v^T \cdot \Theta \cdot u\]
pour tout \(u \in \corps^n\) et tout \(v \in \corps^m\).