Eclats de vers : Pictura 01 : Géométrie
Table des matières
\( \renewenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \renewenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Base
1.1. Angle droit
Considérons deux droites perpendiculaires. Elles forment au croisement quatre angles \(\alpha\) identiques qui forment un tour complet. On a donc :
\[4 \alpha = 360°\]
d’où :
\[\alpha = 90 °\]
1.2. Angles opposés d’une intersection
Soit deux droites qui s’intersectent. On note
\[\alpha, \beta, \gamma, \delta\]
les angles formés par cette intersection, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
On note que deux de ces angles consécutifs forment un demi-tour :
\[\alpha + \beta = 180 ° \\ \beta + \gamma = 180 ° \\ \gamma + \delta = 180 ° \\ \delta + \alpha = 180 °\]
On en déduit que :
\[\alpha = \gamma \\ \beta = \delta\]
Les angles opposés d’une intersection sont égaux.
2. Trigonométrie
2.1. Applications des formules de la tangente
2.1.1. Triangles 1/2 & 1/3
\[\tan\alpha = \unsur{2}\]
\[\tan\beta = \unsur{3}\]
\[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\unsur{2} + \unsur{3}}{1 - \unsur{2} \unsur{3}} = \frac{5/6}{1 - 1/6} = 1\]
\[\alpha + \beta = 45°\]
2.1.2. Triangles 1/3 & 1/7
\[\tan\alpha = \unsur{3}\]
\[\tan\beta = \unsur{7}\]
\[\tan(\alpha+\beta) = \frac{1/3 + 1/7}{1 - \unsur{3 \cdot 7}}\]
\[\tan(\alpha+\beta) = \frac{10/21}{20/21} = \unsur{2}\]
2.1.3. Double du triangles 1/2 donne 4/3
\[\tan\alpha = \unsur{2}\]
\[\tan(2 \alpha) = \frac{2 \cdot 1/2}{1 - \unsur{2^2}} = \unsur{3/4} = 4/3\]
2.1.4. Double du triangle 1/3 donne 3/4
\[\tan\alpha = \unsur{3}\]
\[\tan(2 \alpha) = \frac{2 \cdot 1/3}{1 - \unsur{3^2}} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \frac{9}{8} = \frac{3}{4}\]
2.1.5. Double du triangle 1/\(\phi\) donne 2/1
\[\tan\alpha = \unsur{\phi}\]
\[\tan(2 \alpha) = \frac{2/\phi}{1 - \unsur{\phi^2}}\]
\[\tan(2 \alpha) = \frac{2}{\phi} \cdot \frac{\phi^2}{\phi^2 - 1}\]
\[\tan(2 \alpha) = \frac{2}{\phi} \cdot \frac{\phi^2}{\phi} = 2\]