Eclats de vers : Matemat : Trigonometrie

Soit le triangle rectangle :

On définit la fonction trigonométrique du sinus, notée \(\sin\), comme le rapport entre le côté opposé à l’angle avec l’hypothénuse :

\[ \sin(\alpha) = \frac{b}{c} \]

On définit la fonction trigonométrique du cosinus, notée \(\cos\), comme le rapport entre le côté adjacent à l’angle avec l’hypothénuse :

\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \]

On définit la fonction trigonométrique de tangente, notée \(\tan\), comme le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent :

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]

On a aussi les rapports inversés :

• cosécante :

\[ \csc(\alpha) = \frac{c}{b} \]

• sécante :

\[ \sec(\alpha) = \frac{c}{a} \]

• cotangente :

\[ \cot(\alpha) = \frac{a}{b} \]

On note :

\[ \sin \alpha = \sin(\alpha) \]

\[ \cos \alpha = \cos(\alpha) \]

\[ \tan \alpha = \tan(\alpha) \]

\[ \csc \alpha = \csc(\alpha) \]

\[ \sec \alpha = \sec(\alpha) \]

\[ \cot \alpha = \cot(\alpha) \]

En multipliant la définition du sinus par \(c\), on obtient :

\[ b = c \ \sin \alpha \]

En multipliant la définition du cosinus par \(c\), on obtient :

\[ a = c \ \cos \alpha \]

On remarque que la cosécante est l’inverse du sinus :

\[ \csc\alpha = \frac{c}{b} = \frac{1}{b/c} = \unsur{\sin\alpha} \]

On remarque que la sécante est l’inverse du cosinus :

\[ \sec\alpha = \frac{c}{a} = \frac{1}{a/c} = \unsur{\cos\alpha} \]

On remarque que la cotangente est l’inverse de la tangente :

\[ \cot\alpha = \frac{a}{b} = \frac{1}{b/a} = \unsur{\tan\alpha} \]

Comme le triangle est rectangle, on a :

\[ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \]

ou :

\[ \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha \]

Le rapport entre le côté adjacent à \(\beta\) et l’hypothénuse nous donne :

\[ \cos \beta = \frac{b}{c} = \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \]

Le rapport entre le côté opposé à \(\beta\) et l’hypothénuse nous donne :

\[ \sin \beta = \frac{a}{c} = \cos \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \]

Le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent à \(\beta\) nous donne :

\[ \tan \beta = \frac{a}{b} = \unsur{b/a} = \unsur{\tan \alpha} \]

c’est-à-dire :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \unsur{\tan \alpha} \]

Le théorème de Pythagore dans notre triangle rectangle nous donne :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Mais comme :

\[ a = c \ \cos \alpha \]

\[ b = c \ \sin \alpha \]

la première relation devient :

\[ c^2 \ (\cos \alpha)^2 + c^2 \ (\sin \alpha)^2 = c^2 \]

On peut mettre \(c^2\) en évidence :

\[ c^2 \ \left[(\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2\right] = c^2 \]

puis diviser par \(c^2\) les deux membres, ce qui nous donne la relation fondamentale entre sinus et cosinus :

\[ (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1 \]

On a :

\[ \tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b/c}{a/c} \]

Par définition des sinus et cosinus, on a donc :

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Le cercle trigonométrique permet de généraliser la définition des fonctions trigonometriques au-delà de l’intervalle \([0,\pi/2]\).

Ce cercle est de rayon \(1\) et permet de générer un triangle rectangle dont l’hypothénuse vaut \(1\) pour chaque angle \(\alpha\). La figure ci-dessus en illustre un exemple. Les deux autres côtés sont alors de longueurs :

\[ a = 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha \]

\[ b = 1 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha \]

Ces longueurs correspondent aussi aux coordonnées du point \(P\) dans le système d’axes \((O,x,y)\). Ces coordonnées peuvent varier entre \(-1\) et \(1\), tout comme les valeurs des fonctions \(\cos\) et \(\sin\).

On en déduit les valeurs des fonctions trigonométriques \(\cos\) et $sin$$ pour n’importe quel angle entre \(0\) et \(2\pi\).

Le schéma ci-dessous illustre le cas du deuxième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([\pi/2,\pi]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+\pi/2) = - \sin(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+\pi/2) = \cos(\alpha) \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas du troisième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([\pi,3\pi/2]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+\pi) = - \cos(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+\pi) = - \sin(\alpha) \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas du quatrième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([3\pi/2,2\pi]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+3\pi/2) = \sin(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+3\pi/2) = - \cos(\alpha) \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas d’angles négatifs.

On a clairement :

\[ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \]

\[ \sin(-\alpha) = - \sin(\alpha) \]

On considère qu’ajouter un nombre entier de tours complets (multiple entier de \(2\pi\)) ne change rien aux fonctions trigonométriques. On a donc :

\[ \cos(\alpha+2 \ \pi \ k) = \cos \alpha \]

\[ \sin(\alpha+2 \ \pi \ k) = \sin \alpha \]

pour tout \(k \in \setZ\). Ce constat permet de couvrir l’ensemble des angles à amplitude réelle.

Soit un triangle quelconque. On peut toujours le décomposer en deux triangles rectangles comme suit :

Dans le triangle rectangle de gauche, nous avons :

\[ h = a \ \sin \gamma \]

Dans le triangle rectangle de droite, nous avons :

\[ h = c \ \sin \alpha \]

On en déduit que :

\[ a \ \sin \gamma = c \ \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

On peut aussi tracer la hauteur perpendiculaire au côté \(c\) et suivre un raisonnement similaire, qui nous donne :

\[ a \ \sin \beta = b \ \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

On a donc finalement la loi des sinus qui englobe les trois côtés :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Soit un triangle quelconque. On peut toujours le décomposer en deux triangles rectangles comme suit :

Dans le triangle rectangle de gauche, nous avons :

\begin{Eqts} e = a \cos \gamma \\ h = a \sin \gamma \end{Eqts}

Appliquons à présent le théorème de Pythagore au triangle rectangle de droite :

\[ c^2 = h^2 + (b - e)^2 \]

En tenant compte des relations trigonométriques, cette équation devient :

\begin{align*} c^2 &= a^2 \ (\sin \gamma)^2 + (b - a \ \cos \gamma)^2 \\ &= a^2 \ (\sin \gamma)^2 + b^2 - 2 \ a \ b \ \cos \gamma + a^2 \ (\cos \gamma)^2 \\ &= a^2 \left[(\sin \gamma)^2 + (\cos \gamma)^2 \right] + b^2 - 2 \ \ a \ b \cos \gamma \\ \end{align*}

Mais comme la somme entre crochets vaut toujours 1, on a finalement :

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \ a \ b \ \cos \gamma \]

Un raisonnement similaire nous donne le même résultat lorsque l’angle \(\gamma\) est obtus.

On peut voir ce résultat comme une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque.

Un raisonnement similaire nous donne un résultat analogue pour les autres côtés :

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \ b \ c \ \cos \alpha \]

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \ a \ c \ \cos \beta \]