Eclats de vers : Matemat : Trigonométrie : valeurs particulieres
Table des matières
1. Cercle trigonométrique
1.1. Angle nul
Un angle nul dans le cercle trigonométrique nous donne comme coordonnées \((1,0)\) pour le point \(P\) correspondant sur le cercle unitaire. Comme ces coordonnées sont aussi égales à \((\cos 0, \sin 0)\), on en déduit que :
\[ \cos 0 = 1 \]
\[ \sin 0 = 0 \]
1.2. Droit
Un angle droit dans le cercle trigonométrique nous donne comme coordonnées \((0,1)\) pour le point \(P\) correspondant sur le cercle unitaire. Comme ces coordonnées sont aussi égales à \((\cos(\pi/2), \sin(\pi/2))\), on en déduit que :
\[ \cos(\pi/2) = \cos 90^\circ = 0 \]
\[ \sin(\pi/2) = \sin 90^\circ = 1 \]
2. Triangle rectangle isocèle
Examinons le triangle rectangle isocèle ci-dessous :
Le théorème de Pythagore nous donne :
\[ c^2 = a^2 + a^2 = 2 \ a^2 \]
La longueur \(c\) étant un réel positif, on a :
\[ c = \sqrt{2} \ a \]
On a par définition :
\[ \cos 45^\circ = \frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{2} \ a} \]
c’est-à-dire :
\[ \cos 45^\circ = \unsur{\sqrt{2}} \]
En multipliant le numérateur de le dénominateur de la fraction par \(\sqrt{2}\), on obtient :
\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \]
c’est-à-dire :
\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
On en déduit :
\[ \sin 45^\circ = \cos(90^\circ - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
La tangente de 45° vaut :
\[ \tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1 \]
3. Triangle équilatéral
Examinons le triangle équilatéral ci-dessous :
Par symétrie, la hauteur \(h\) coupe la base en deux parties égales \(a/2\). Le triangle équilatéral est aussi découpé en deux triangles rectangles.
Le théorème de Pythagore applique au triangle rectangle de gauche nous donne :
\[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right) + h^2 \]
c’est-à-dire :
\[ a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 \]
On en conclut que :
\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3 \ a^2}{4} \]
La longueur \(h\) étant un réel positif, on a :
\[ h = \frac{\sqrt{3} \ a}{2} \]
On a par définition :
\[ \cos 60^\circ = \frac{a/2}{a} \]
c’est-à-dire :
\[ \cos 60^\circ = \unsur{2} \]
On en déduit :
\[ \sin 30^\circ = \cos(90^\circ - 30^\circ) = \cos 60^\circ = \unsur{2} \]
On a par définition :
\[ \sin 60^\circ = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3} \ a}{2 \ a} \]
c’est-à-dire :
\[ \sin 60^\circ = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
On en déduit :
\[ \cos 30^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
La tangente de 30° vaut donc :
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \unsur{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
La tangente de 60° vaut donc :
\[ \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \]
4. Tableau récapitulatif
| Radians | Degrés | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\pi/6\) | \(30^\circ\) | \(1/2\) | \(\sqrt{3}/2\) | \(\sqrt{3}/3\) |
| \(\pi/4\) | \(45^\circ\) | \(\sqrt{2}/2\) | \(\sqrt{2}/2\) | \(1\) |
| \(\pi/3\) | \(60^\circ\) | \(\sqrt{3}/2\) | \(1/2\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(\pi/2\) | \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | \(\infty\) |