Eclats de vers : Matemat : Trigonometrie : sommes

Soit les triangles rectangles \(ABC\) et \(ACD\) empilés l’un sur l’autre :

Les droites \((AB)\) et \((EF)\) sont clairement parallèles.

Nous avons tenu compte des angles alternes-internes dans la notation.

Comme \(\alpha\) et \(\gamma\) sont les deux angles aigus d’un triangle rectangle, ils sont complémentaires :

\[ \gamma = 90^\circ - \alpha \]

Comme \(\gamma\), \(\delta\) et \(90^\circ\) forment ensemble un angle plat, on a :

\[ \gamma + \delta + 90^\circ = 180^\circ \]

En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient :

\[ \gamma + \delta + 90^\circ - \gamma = 180^\circ - 90^\circ + \alpha \]

En simplifiant, on obtient :

\[ \delta = \alpha \]

On définit :

\[ a = \abs{BC} \qquad \qquad \qquad b = \abs{CA} \qquad \qquad \qquad c = \abs{AB} \]

\[ u = \abs{AD} \qquad \qquad \qquad v = \abs{DB} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \]

• La loi des sinus appliquée aux côtés \(a\) et \(c\) nous donne :

\[ \frac{a}{\sin\gamma} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)} \]

• Les angles \(\alpha\) et \(\gamma\) sont des angles aigus de triangle rectangle, et sont donc complémentaires :

\[ \gamma = 90^\circ - \alpha \]

On en déduit que :

\[ \sin\gamma = \cos\alpha \]

La loi des sinus devient :

\[ \frac{a}{\cos\alpha} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)} \]

• La définition du cosinus nous donne :

\[ \cos\beta = \frac{h}{a} \]

Isolons \(a\) :

\[ a = \frac{h}{\cos\beta} \]

La loi des sinus devient :

\[ \frac{h}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)} \]

• La définition de la tangente nous donne les relations :

\[ \tan\alpha = \frac{u}{h} \qquad \qquad \qquad \tan\beta = \frac{v}{h} \]

Isolons \(u\) et \(v\) :

\[ u = h \ \tan\alpha \qquad \qquad \qquad v = h \ \tan\beta \]

Comme les points \(A\), \(D\) et \(B\) sont alignés, on a :

\[ c = u + v \]

Remplaçons \(u\) et \(v\) par leurs expressions :

\[ c = h \ \tan\alpha + h \ \tan\beta \]

Mettons \(h\) en évidence :

\[ c = h \ (\tan\alpha + \tan\beta) \]

La loi des sinus devient :

\[ \frac{h}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{h \ (\tan\alpha + \tan\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \]

• Divisons les deux membres par \(h\) :

\[ \frac{1}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\sin(\alpha + \beta)} \]

Isolons le sinus de la somme :

\[ \sin(\alpha + \beta) = (\tan\alpha + \tan\beta) \ \cos\alpha \ \cos\beta \]

Distribuons :

\[ \sin(\alpha + \beta) = \tan\alpha \ \cos\alpha \ \cos\beta + \tan\beta \ \cos\alpha \ \cos\beta \]

Utilisons la relation fondamentale de la tangente :

\[ \sin(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \ \cos\alpha \ \cos\beta + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \ \cos\alpha \ \cos\beta \]

Il ne nous reste qu’à simplifier pour obtenir la formule :

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha \]

On définit :

\[ a = \abs{BC} \qquad \qquad \qquad b = \abs{CA} \qquad \qquad \qquad c = \abs{AB} \]

\[ u = \abs{AD} \qquad \qquad \qquad v = \abs{DB} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \]

• La définition de la tangente nous donne les relations :

\[ \tan\alpha = \frac{u}{h} \qquad \qquad \qquad \tan\beta = \frac{v}{h} \]

Isolons \(u\) et \(v\) :

\[ u = h \ \tan\alpha \qquad \qquad \qquad v = h \ \tan\beta \]

Comme les points \(A\), \(D\) et \(B\) sont alignés, on a :

\[ c = u + v \]

Remplaçons \(u\) et \(v\) par leurs expressions :

\[ c = h \ \tan\alpha + h \ \tan\beta \]

Élévons au carré :

\[ c^2 = (h \ \tan\alpha + h \ \tan\beta)^2 \]

Appliquons la formule du carré parfait :

\[ c^2 = h^2 \ (\tan\alpha)^2 + 2 \ h^2 \ \tan\alpha \ \tan\beta + h^2 \ (\tan\beta)^2 \]

• D’un autre côté, la loi des cosinus appliquée au côté \(c\) nous donne :

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \ a \ b \ \cos(\alpha + \beta) \]

• La définition du cosinus nous donne :

\[ \cos\beta = \frac{h}{a} \qquad \qquad \qquad \cos\alpha = \frac{h}{b} \]

Isolons \(a\) et \(b\) :

\[ a = \frac{h}{\cos\beta} \qquad \qquad \qquad b = \frac{h}{\cos\alpha} \]

La loi des cosinus devient :

\[ c^2 = \frac{h^2}{(\cos\beta)^2} + \frac{h^2}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ h^2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

• Égalisons les deux expressions de \(c^2\) :

\[ h^2 \ (\tan\alpha)^2 + 2 \ h^2 \ \tan\alpha \ \tan\beta + h^2 \ (\tan\beta)^2 = \frac{h^2}{(\cos\beta)^2} + \frac{h^2}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ h^2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

Divisons le tout par \(h^2\) :

\[ (\tan\alpha)^2 + 2 \ \tan\alpha \ \tan\beta + (\tan\beta)^2 = \frac{1}{(\cos\beta)^2} + \frac{1}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

• Utilisons la relation fondamentale de la tangente :

\[ \frac{(\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} + \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} + \frac{(\sin\beta)^2}{(\cos\beta)^2} = \frac{1}{(\cos\beta)^2} + \frac{1}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

Isolons le terme du cosinus de la comme :

\[ \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{1}{(\cos\beta)^2} + \frac{1}{(\cos\alpha)^2} - \frac{(\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} - \frac{(\sin\beta)^2}{(\cos\beta)^2} - \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

Regroupons les quatre premiers termes du membre de droite :

\[ \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{1 - (\sin\beta)^2}{(\cos\beta)^2} + \frac{1 - (\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

• Utilisons la relation fondamentale entre sinus et cosinus :

\[ (\sin\alpha)^2 + (\cos\alpha)^2 = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\cos\alpha)^2 = 1 - (\sin\alpha)^2 \]

\[ (\sin\beta)^2 + (\cos\beta)^2 = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\cos\beta)^2 = 1 - (\sin\beta)^2 \]

La relation entre les expressions de \(c^2\) devient :

\[ \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} = \frac{(\cos\beta)^2}{(\cos\beta)^2} + \frac{(\cos\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} - \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

qui se simplifie en :

\[ \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} = 1 + 1 - \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

ou :

\[ \frac{2 \ \cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \ \cos\beta} = 2 - \frac{2 \ \sin\alpha \ \sin\beta}{\cos\alpha \ \cos\beta} \]

Multiplions le tout par le produit des cosinus des dénominateurs :

\[ 2 \ \cos(\alpha + \beta) = 2 \ \cos\alpha \ \cos\beta - 2 \ \sin\alpha \ \sin\beta \]

En divisant le tout par deux, on obtient la formule :

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta \]

On a :

\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \]

En utilisant les formules de sommes pour le sinus et le cosinus, cette relation devient :

\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha}{\cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta} \]

En divisant numérateur et dénominateur de la fraction par \(\cos\alpha \ \cos\beta\), il vient :

\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha / \cos\alpha + \sin\beta / \cos\beta}{1 - (\sin\alpha / \cos\alpha) (\sin\beta / \cos\beta)} \]

En se rappelant la relation fondamentale liant tangente, sinus et cosinus on obtient finalement :

\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \ \tan\beta} \]

On a :

\[ \cos(2 \ \alpha) = \cos(\alpha+\alpha) = \cos\alpha \ \cos\alpha - \sin\alpha \ \sin\alpha \]

et donc :

\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]

On a :

\[ \sin(2 \ \alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha \ \cos\alpha + \sin\alpha \ \cos\alpha \]

et donc :

\[ \sin(2 \ \alpha) = 2 \ \sin\alpha \ \cos\alpha \]

On a :

\[ \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \ \tan\alpha} \]

et donc :

\[ \tan(2 \ \alpha) = \frac{2 \ \tan\alpha}{1 - (\tan\alpha)^2} \]

Soit un angle \(\alpha\). La formule du cosinus de l’angle double nous donne :

\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]

En se rappelant la relation fondamentale :

\[ (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1 \]

on peut remplacer le carré du sinus :

\[ (\sin \alpha)^2 = 1 - (\cos \alpha)^2 \]

dans l’expression du cosinus de l’angle double, ce qui nous donne :

\[ \cos(2 \ \alpha) =(\cos\alpha)^2 - [1 - (\cos\alpha)^2] \]

ou encore :

\[ \cos(2 \ \alpha) = 2 \ (\cos\alpha)^2 - 1 \]

En isolant le carré du cosinus de l’angle \(\alpha\), on obtient :

\[ (\cos\alpha)^2 = \frac{1 + \cos(2 \ \alpha)}{2} \]

Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :

\[ \theta = 2 \ \alpha \]

On a alors :

\[ \alpha = \theta/2 \]

et :

\[ \big[ \cos(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 + \cos\theta}{2} \]

Soit un angle \(\alpha\). La formule du cosinus de l’angle double nous donne :

\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]

Si on remplace le carré du cosinus :

\[ (\cos \alpha)^2 = 1 - (\sin \alpha)^2 \]

dans l’expression du cosinus de l’angle double, on obtient :

\[ \cos(2 \ \alpha) = 1 - 2 \ (\sin\alpha)^2 \]

ou, en isolant le carré du sinus :

\[ (\sin\alpha)^2 = \frac{1 - \cos(2 \ \alpha)}{2} \]

Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :

\[ \theta = 2 \ \alpha \]

On a alors :

\[ \alpha = \theta/2 \]

et :

\[ \big[ \sin(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 - \cos\theta}{2} \]

On a aussi :

\[ (\tan\alpha)^2 = \frac{(\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} = \frac{(1 - \cos(2 \ \alpha))/2}{(1 + \cos(2 \ \alpha))/2} \]

et finalement :

\[ (\tan\alpha)^2 = \frac{1 - \cos(2 \ \alpha)}{1 + \cos(2 \ \alpha)} \]

Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :

\[ \theta = 2 \ \alpha \]

On a alors :

\[ \alpha = \theta/2 \]

et :

\[ \big[ \tan(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} \]

Les formules de linéarisation de Simpson permettent de transformer les produits en sommes.

Les formules d’antilinéarisation de Simpson permettent de transformer les sommes en produits.

Soit un triangle quelconque :

Le corollaire de la loi des sinus nous donne :

\[ \frac{a}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \]

et :

\[ \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \]

Pour plus de concision, on pose :

\[ \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} \]

\[ \delta = \frac{\alpha - \beta}{2} \]

Comme la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), on a :

\[ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma \]

En divisant cette somme par deux, il vient :

\[ \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \]

Comme le sinus d’un angle est égal au cosinus de l’angle complémentaire, on a :

\[ \sin \mu = \cos(\gamma/2) \]

et vice versa :

\[ \cos \mu = \sin(\gamma/2) \]

On a :

\[ \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} + \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \gamma} \]

L’antilinéarisation de Simpson nous permet de transformer la somme en produit :

\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]

ou, en utilisant la moyenne et l’écart :

\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \ \sin\mu \ \cos\delta \]

Comme \(\gamma\) est l’angle double de \(\gamma / 2\), on a aussi :

\[ \sin\gamma = 2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2) \]

Le rapport de longueurs devient :

\[ \frac{a + b}{c} = \frac{2 \ \sin\mu \ \cos\delta}{2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2)} \]

Comme \(\sin(\gamma/2) = \cos\mu\) et \(\cos(\gamma/2) = \sin\mu\), il vient :

\[ \frac{a + b}{c} = \frac{2 \ \sin\mu \ \cos\delta}{2 \ \cos\mu \ \sin\mu} = \frac{\cos\delta}{\cos\mu} \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a + b}{c} = \frac{\cos\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\cos\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]

La complémentarite de \(\mu\) et \(\gamma/2\) nous donne la variante :

\[ \frac{a + b}{c} = \frac{\cos\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\sin(\gamma/2)} \]

On a :

\[ \frac{a - b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} - \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \gamma} \]

L’antilinéarisation de Simpson nous permet de transformer la différence en produit :

\[ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \]

ou, en utilisant la moyenne et l’écart :

\[ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \ \sin\delta \ \cos\mu \]

Comme \(\gamma\) est l’angle double de \(\gamma / 2\), on a :

\[ \sin\gamma = 2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2) \]

Le rapport de longueurs devient :

\[ \frac{a - b}{c} = \frac{2 \ \sin\delta \ \cos\mu}{2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2)} \]

Comme \(\sin(\gamma/2) = \cos\mu\) et \(\cos(\gamma/2) = \sin\mu\), il vient :

\[ \frac{a - b}{c} = \frac{2 \ \sin\delta \ \cos\mu}{2 \ \cos\mu \ \sin\mu} = \frac{\sin\delta}{\sin\mu} \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a - b}{c} = \frac{\sin\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\sin\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]

La complémentarite de \(\mu\) et \(\gamma/2\) nous donne la variante :

\[ \frac{a - b}{c} = \frac{\sin\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\cos(\gamma/2)} \]

La loi des tangente peut se dériver directement de la formule de Mollweide. En effet :

\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{a - b}{c} \cdot \frac{c}{a + b} = \frac{\sin\delta}{\sin\mu} \cdot \frac{\cos\mu}{\cos\delta} \]

que l’on peut réécrire :

\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\sin\delta / \cos\delta}{\sin\mu / \cos\mu} = \frac{\tan\delta}{\tan\mu} \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\tan\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]

Soit un angle \(\theta\). On peut utiliser les formules de sommes d’angles pour réduire une expression trigonométrique de la forme :

\[ T = a \ \sin \theta + b \ \cos \theta \]

Soit le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), de cathètes \(a\) et \(b\) :

• Le théorème de Pythagore nous donne :

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

• On a :

\[ \frac{a}{c} = \cos\alpha = \sin\beta \qquad \qquad \qquad \frac{b}{c} = \cos\beta = \sin\alpha \]

d’où :

\[ \alpha = \arccos\left( \frac{a}{c} \right) = \arcsin\left( \frac{b}{c} \right) \]

\[ \beta = \arccos\left( \frac{b}{c} \right) = \arcsin\left( \frac{a}{c} \right) \]

• Notre expression peut se réécrire :

\[ T = \frac{c}{c} \ (a \ \sin \theta + b \ \cos \theta) \]

ou encore :

\[ T = c \ \left( \frac{a}{c} \ \sin \theta + \frac{b}{c} \ \cos \theta \right) \]

• Les fractions \(a/c\) et \(b/c\) sont respectivement le cosinus et le sinus de l’angle \(\alpha\) :

\[ T = c \ \left( \cos \alpha \ \sin \theta + \sin \alpha \ \cos \theta \right) \]

L’expression entre parenthèses n’est rien d’autre que le sinus de la somme de \(\theta\) et \(\alpha\), et on a finalement :

\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = c \ \sin(\theta + \alpha) \]

• Si on utilise l’angle \(\beta\), on a plutôt :

\[ T = c \ \left( \sin \beta \ \sin \theta + \cos \beta \ \cos \theta \right) \]

L’expression entre parenthèses n’est rien d’autre que le cosinus de la différence de \(\theta\) et \(\beta\), et on a finalement :

\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = c \ \cos(\theta - \beta) \]

On peut utiliser cette technique pour résoudre en \(\theta\) une équation de la forme :

\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = d \]

• La technique de réduction nous donne :

\[ c \ \sin(\theta + \alpha) = d \]

En divisant par \(c\), il vient simplement :

\[ \sin(\theta + \alpha) = \frac{d}{c} \]

Une des solutions se trouve en prenant l’arc sinus des deux membres :

\[ \theta + \alpha = \arcsin\left( \frac{d}{c}\right) \]

ce qui nous donne :

\[ \theta = \arcsin\left( \frac{d}{c}\right) - \alpha \]

• On a aussi :

\[ \cos(\theta - \beta) = \frac{d}{c} \]

Une des solutions se trouve en prenant l’arc cosinus des deux membres :

\[ \theta - \beta = \arccos\left( \frac{d}{c}\right) \]

ce qui nous donne :

\[ \theta = \arccos\left( \frac{d}{c}\right) + \beta \]