Eclats de vers : Matemat : Trigonometrie : sommes
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Somme de deux angles
Considérons le diagramme suivant :
1.1. Préambule
Comme \(\alpha\) et \(\gamma\) sont les deux angles non droits d’un triangle rectangle, on a :
\[ \gamma = \frac{\pi}{2} - \alpha \]
Comme \(\gamma\), \(\delta\) et \(\pi/2\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \gamma + \delta + \frac{\pi}{2} = \pi \]
En substituant la valeur de \(\gamma\) par rapport à \(\alpha\), cette relation devient :
\[ \frac{\pi}{2} - \alpha + \delta + \frac{\pi}{2} = \pi \]
ou encore :
\[ - \alpha + \delta = 0 \]
et finalement :
\[ \delta = \alpha \]
1.2. Cosinus de la somme
Le diagramme nous montre que :
\[ \cos(\alpha+\beta) + \sin\beta \ \sin\delta = \cos\beta \ \cos\alpha \]
mais comme \(\delta = \alpha\), cette relation devient :
\[ \cos(\alpha+\beta) + \sin\beta \ \sin\alpha = \cos\beta \ \cos\alpha \]
En isolant \(\cos(\alpha+\beta)\) :
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \cos\alpha - \sin\beta \ \sin\alpha \]
ou encore :
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta \]
ce qui nous donne la formule pour le cosinus d’une somme d’angles.
1.3. Sinus de la somme
Le diagramme nous montre que :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \sin\alpha + \cos\delta \ \sin\beta \]
mais comme \(\delta = \alpha\), cette relation devient :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \sin\alpha + \cos\alpha \ \sin\beta \]
ou encore :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha \]
ce qui nous donne la formule pour le sinus d’une somme d’angles.