Eclats de vers : Matemat : Tribus
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:tribus}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
- Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif
2. Définition
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\mathcal{T}\) forme une tribu sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :
- \(\emptyset \in \mathcal{T}\)
- si \(A \in \mathcal{T}\), on a aussi \(\Omega \setminus A \in \mathcal{T}\)
- l'union de toute suite discrète \(A_1,A_2,... \in \mathcal{T}\)
appartient aussi à la collection :
\[\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}\]
On note \(\tribu(\Omega)\) l'ensemble des tribus sur \(\Omega\).
3. Corollaire
On conclut directement de la définition que :
\[\Omega = \Omega \setminus \emptyset \in \mathcal{T}\]
4. Intersection
Soit les \(A_i \in \mathcal{T}\) et leurs complémentaires :
\[B_i = \Omega \setminus A_i \in \mathcal{T}\]
On a aussi :
\[A_i = \Omega \setminus B_i\]
En prenant l'intersection de tous les \(A_i\), on obtient :
\[\bigcap_i A_i = \Omega \setminus \left[ \bigcup_i B_i \right] \in \mathcal{T}\]
On en déduit que toute intersection dénombrable d'éléments de \(\mathcal{T}\) est également dans \(\mathcal{T}\).
5. Différence
Soit \(A,B \in \mathcal{T}\), on a
\[A \setminus B = A \cap (\Omega \setminus B) \in \mathcal{T}\]
6. Tribu engendrée
Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la tribu engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite tribu contenant les éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :
\[\tribu(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \mathcal{T} \in \tribu(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \mathcal{T} \}\]