Eclats de vers : Matemat : Transformations géométriques planes

Une transformation plane \(\mathscr{T}\) dans un plan \(\Theta\) est une fonction \(\mathscr{T} : \Theta \mapsto \Theta\) qui, à chaque point \(P \in \Theta\), associe un point image \(\mathscr{T}(P)\).

Pour tracer l’image d’un segment, il suffit de relier entre-elles les images de chaque extrémité du segment original.

Pour tracer l’image d’un polygone, il suffit de tracer les images des segments (côtés) du polygone original.

Une translation utilise un même vecteur pour faire glisser chaque point du plan d’un point origine vers une destination.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v} = \vecteur{XY}\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v}\) à un point \(A\) :

1. on trace une droite \(d\) parallèle au segment \([X,Y]\) associé à \(\vecteur{v}\)
2. en partant du point \(A\), on trace une copie du vecteur \(\vecteur{v} = \vecteur{AB}\) sur la droite \(d\) en veillant à ce que
   • la longueur \(\abs{AB}\) soit égale à \(\abs{XY}\)
   • le sens de progression \([A \to B]\) soit le même que celui de \([X \to Y]\)
3. le point \(B = \mathcal{T}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vecteur{v}\)

Soit une translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v}\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{T}\) :

Une rotation fait tourner chaque point du plan d’un même angle autour d’un même centre.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\), appliquée à un point \(A\) :

La convention usuelle du signe des angles s’applique :

• un angle positif fait tourner le point dans le sens anti-horlogique
• un angle négatif fait tourner le point dans le sens horlogique

Pour appliquer une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(OA\)
2. on trace un arc de cercle \(\Gamma\) de centre \(O\)
3. on repère sur \(\Gamma\) le point \(B\) tel que \(\abs{\anglecirc{AOB}} = \alpha\)
4. le point \(B = \mathcal{R}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\)

Soit une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{R}\) :

Une symétrie centrale projette un point quelconque du plan de l’autre côté et à la même distance d’un centre donné.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(OA\)
2. on reporte la distance \(r = \abs{OA}\) de l’autre côté de \(O\) pour obtenir le point \(B\)
   • on a donc \(\abs{OA} = \abs{OB}\)
3. le point \(B = \mathcal{S}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la symétrie centrale de centre \(O\)

Soit une symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{S}\) :

Une symétrie orthogonale, ou réflexion, projette un point quelconque du plan de l’autre côté d’une droite donnée, appelée axe de la symétrie orthogonale. La projection se fait perpendiculairement à l’axe, et à la même distance.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de symétrie orthogonale \(\mathcal{S}\) d’axe \(d\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une symétrie orthogonale d’axe \(d\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(p\), perpendiculaire à \(d\) et qui passe par \(A\)
   • soit \(I\), le point d’intersection entre \(d\) et \(p\)
2. on reporte la distance \(\abs{AI}\) de l’autre côté de \(d\), obtenant ainsi le point \(B\)
   • on a alors \(\abs{AI} = \abs{IB}\)
3. le point \(B = \mathcal{S}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la symétrie orthogonale d’axe \(d\)

Soit une symétrie orthogonale \(\mathcal{S}\) d’axe \(d\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{S}\) :

Une homothétie multiplie la distance du point d’origine par rapport à un centre donné. On appelle rapport de l’homothétie le ratio de distance utilisé.

Le schéma ci-dessous donne un exemple d’homothétie \(\mathcal{H}\) de centre \(O\) et de rapport \(R = 4\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(R\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(d = OA\)
2. on multiplie la distance \(\abs{OA}\) par \(R\) pour obtenir la distance \(D\)
3. on reporte la distance \(D\) sur la droite \(OA\), obtenant ainsi le point \(B\)
   • on a donc : \(\abs{OB} = D = R \ \abs{OA}\)
4. le point \(B = \mathcal{H}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par l’homothétie \(\mathcal{H}\)

Par convention, un rapport de distance négatif envoie le point image de l’autre côté du centre. Le schéma ci-dessous donne un exemple d’homothétie \(\mathcal{H}\) de centre \(O\) et de rapport \(R = -4\) appliquée à un point \(A\) :

Le rapport de longueurs s’écrit alors :

\[ \abs{OB} = \abs{R} \cdot \abs{OA} \]

Soit une homothétie \(\mathcal{H}\) de centre \(O\) et de rapport \(R = 3\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{H}\) :

Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les longueurs et les angles.

Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par une translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v}\) :

Comme les segments orientés \([A \to C]\) et \([B \to D]\) sont des représentants du même vecteur \(\vecteur{v}\), ils sont de même longueur :

\[ \abs{AC} = \abs{BD} \]

Ces segments sont aussi parallèles, ce qui implique que les angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\beta\) sont de même amplitude :

\[ \alpha = \beta \]

Les triangles \(ABC\) et \(BDC\) ont donc :

• un angle correspondant de même amplitude : \(\alpha\) et \(\beta\)
• un côté commun \([B,C]\) qui est forcément de même longueur
• un autre côté correspondant de même longueur : \([A,C]\) et \([B,D]\)

Comme l’angle de même amplitude est compris entre les côtés de mêmes longueurs, les triangles \(ABC\) et \(BDC\) sont isométriques.

Ce résultat implique que la longueur du segment d’origine est égale à la longueur du segment image :

\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]

Toute translation est donc une isométrie.

Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) :

Par construction de la rotation, on a :

\[ \abs{OA} = \abs{OC} \]

\[ \abs{OB} = \abs{OD} \]

Au niveau des angles, on a :

\[ \alpha + \theta = \theta + \beta \]

En simplifiant les \(\theta\), cette relation devient :

\[ \alpha = \beta \]

Les triangles \(OAB\) et \(OCD\) ont donc un angle correspondant de même amplitude (\(\alpha = \beta\)) compris entre deux côtés correspondants de mêmes longueurs :

\[ \abs{OA} = \abs{OC} \]

\[ \abs{OB} = \abs{OD} \]

Les triangles \(OAB\) et \(OCD\) sont donc isométriques. Ce résultat implique que la longueur du segment d’origine est égale à la longueur du segment image :

\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]

Toute rotation est donc une isométrie.

Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par une symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) :

Par construction de la symétrie centrale, on a :

\[ \abs{OA} = \abs{OC} \]

\[ \abs{OB} = \abs{OD} \]

Les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont opposés par le sommet :

\[ \alpha = \beta \]

Les triangles \(OAB\) et \(OCD\) ont donc un angle correspondant de même amplitude (\(\alpha = \beta\)) compris entre deux côtés correspondants de mêmes longueurs :

\[ \abs{OA} = \abs{OC} \]

\[ \abs{OB} = \abs{OD} \]

Les triangles \(OAB\) et \(OCD\) sont donc isométriques. Ce résultat implique que la longueur du segment d’origine est égale à la longueur du segment image :

\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]

Toute symétrie centrale est donc une isométrie.

Nous avons déjà utilisé la symétrie orthogonale pour justifier le fait que les constructions de triangles produisent des triangles isométriques, ce qui nous amène aux conditions suffisantes d’isométrie entre triangles. Le caractère d’isométrie de la symétrie orthogonale est donc implicitement admis comme axiome, et nous n’avons pas vraiment besoin de le démontrer ici. Toutefois, on peut imaginer un système alternatif où nous admettons comme axiomes les conditions suffisantes d’isométrie entre triangles. Nous pouvons alors prouver que toute symétrie orthogonale est une isométrie, ce que nous faisons ici à titrre d’exercice.

Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par une symétrie orthogonale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) :

Par construction de la symétrie orthogonale, on a :

\[ \abs{AI} = \abs{IC} \]

\[ \abs{BJ} = \abs{JD} \]

Les triangles rectangles \(BIJ\) et \(JID\) ont leurs deux cathètes de même longueur :

• le côté commun \([I,J]\)
• \([B,J]\) et \([J,D]\)

Ces triangles sont donc isométriques et :

\[ \abs{BI} = \abs{ID} \]

\[ \alpha = \beta \]

Les droites \((BD)\) et \((AC)\) sont parallèles, car elles sont toutes deux perpendiculaires à l’axe \(d\). L’égalité des angles alternes-internes nous donne :

\[ \alpha = \gamma \]

\[ \beta = \delta \]

Comme \(\alpha = \beta\), on en conclut que :

\[ \gamma = \alpha = \beta = \delta \]

Les triangles \(AIB\) et \(ICD\) ont donc un angle de même amplitude (\(\gamma = \delta\)) compris entre deux côtés correspondants de mêmes longueurs :

\[ \abs{AI} = \abs{IC} \]

\[ \abs{BI} = \abs{ID} \]

Ils sont donc isométriques, ce qui implique que la longueur du segment d’origine est égale à la longueur du segment image :

\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]

Toute symétrie orthogonale est donc une isométrie.