Eclats de vers : Matemat : Topologies
Table des matières
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\label{chap:topologies}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
- Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif
2. Définition
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\topologie \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\topologie\) forme une topologie sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :
- \(\emptyset, \Omega \in \topologie\)
- pour toute sous-collection \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\), l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) appartient également à la topologie :
\[\bigcup \mathcal{C} \in \topologie\]
- si \(A,B \in \topologie\), leur intersection appartient également à la topologie :
\[A \cap B \in \topologie\]
On note \(\topologies(\Omega)\) l'ensemble des topologies sur \(\Omega\).
3. Espace topologique
Si \(\topologie\) est une topologie sur \(\Omega\), on dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) forme un espace topologique.
4. Ouvert
On appelle « ouvert » tout ensemble \(U \in \topologie\).
5. Fermé
On appelle « fermé » tout complémentaire d'un ouvert. Si \(F \subseteq \Omega\) est un fermé, on peut donc écrire :
\[F = \Omega \setminus U\]
pour un certain \(U \in \topologie\). On note la collection des ensembles fermés par :
\[\ferme = \{ \Omega \setminus U : U \in \topologie \}\]
5.1. Intersection
Soit une collection d'ouverts \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\) et la collection de fermés correspondant :
\[\mathcal{F} = \{ \Omega \setminus U : U \in \mathcal{C} \}\]
L'intersection de tous ces fermés :
\[\bigcap \mathcal{F} = \Omega \setminus \bigcup \mathcal{C}\]
est le complémentaire de l'ensemble :
\[U = \bigcup \mathcal{C}\]
qui est un ouvert. On en conclut qu'une intersection de fermés est un fermé.
5.2. Union
Soit les ouverts \(U,V \in \topologie\) et les fermés correspondant :
\( F = \Omega \setminus U \)
\( G = \Omega \setminus V \)
On a :
\[F \cup G = \Omega \setminus (U \cap V)\]
L'ensemble \(U \cap V\) étant un ouvert, on en conclut que l'union de deux fermés est un fermé.
6. Ouverts fermés
On a \(\{\emptyset,\Omega\} \subseteq \topologie \cap \ferme\).
7. Voisinage
On dit que \(V \subseteq \Omega\) est un voisinage de \(x \in \Omega\) si il existe un ouvert \(U \in \topologie\) tel que \(x \in U \subseteq V\).
8. Adhérence
L'adhérence, ou fermeture, d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus petit (au sens inclusif) ensemble fermé \(F\) contenant \(A\). On la note :
\[\adh A = \inf_\subseteq \{ F \in \ferme : A \subseteq F \} = \bigcap \{ F \in \ferme : A \subseteq F \}\]
9. Intérieur
L'intérieur d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus grand ensemble ouvert contenu dans \(A\). On le note :
\[\interieur A = \sup_\subseteq \{ U \in \topologie : U \subseteq A \} = \bigcup \{ U \in \topologie : U \subseteq A \}\]
10. Frontière
La frontière de \(A\) est la différence entre l'adhérence et l'intérieur :
\[\frontiere A = (\adh A) \setminus (\interieur A)\]
11. Propriétés de l'adhérence et de l'intérieur
11.1. Inclusions
On a bien entendu :
\[\interieur A \subseteq A \subseteq \adh A\]
11.2. Nature
Une union quelconque d'ouverts étant un ouvert, on a \(\interieur A \in \topologie\). Une intersection quelconque de fermés étant un fermé, on a \(\adh A \in \ferme\).
11.3. Complémentaire
Les fermés \(F\) contenant \(A\) correspondent aux complémentaires des ouverts \(U = \Omega \setminus F\) inclus dans \(\Omega \setminus A\). Comme \(\bigcap F = \Omega \setminus \bigcup U\), on a :
\[\adh A = \Omega \setminus \interieur (\Omega \setminus A)\]
Les ouverts \(U\) inclus dans \(A\) correspondent aux complémentaires des fermés \(F = \Omega \setminus U\) contenant \(\Omega \setminus A\). La relation \(\bigcup U = \Omega \setminus \bigcap F\) nous dit que :
\[\interieur A = \Omega \setminus \adh (\Omega \setminus A)\]
12. Hausdorff
On dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) est un espace de Haussdorff si, pour tout \(x,y \in \Omega\) vérifiant \(x \ne y\), on peut trouver des ouverts \(U, V \in \topologie\) tels que :
\[x \in U, \ y \in V\]
et :
\[U \cap V = \emptyset\]
13. Topologie engendrée
Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la topologie engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite topologie contenant les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :
\[\topologies(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \topologie \in \topologies(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \topologie \}\]