Eclats de vers : Matemat : Suites de rationnels
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:suitesDeRationnels}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
- Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances
- Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites
2. Définition
Une suite de rationnels, ou suite rationnelle est une suite \(s : \setN \mapsto \setQ\) :
\[s : n \mapsto s_n\]
3. Distance
On définit une distance sur l'ensemble des rationnels \(\setQ\) par :
\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]
pour tout \(x,y \in \setQ\). On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :
\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}4. Équivalence
Soit les suites rationnelles \(s,t : \setN \mapsto \setQ\) vérifiant \(s \equiv t\). On a :
\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = \lim_{n \to \infty} \abs{s_n - t_n} = 0\]
On en déduit que :
\[\lim_{n \to \infty} (s_n - t_n) = 0\]
4.1. Réciproque
Supposons que :
\[\lim_{n \to \infty} (s_n - t_n) = 0\]
Choisissons \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et le naturel \(K(\epsilon)\) tel que :
\[\distance(s_n - t_n, 0) \le \epsilon\]
pour tout \(k \ge K(\epsilon)\). Par définition de la distance entre rationnels, on a :
\[\distance(s_n - t_n, 0) = \abs{(s_n - t_n) - 0} = \abs{s_n - t_n}\]
on en conclut que :
\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = \lim_{n \to \infty} \abs{s_n - t_n} = 0\]
c'est-à-dire \(s \equiv t\) par définition.
5. Cauchy
5.1. Croissante
Soit une suite de Cauchy \(u : \setN \mapsto \setQ\) :
\[u : n \mapsto u_n\]
croissante :
\[u_0 \le u_1 \le ... \le u_k \le ...\]
Comme :
\[u_n \ge u_0\]
pour tout \(n \in \setN\), on voit que la suite est minorée par \(u_0\). On peut trouver un naturel \(K\) tel que :
\[\distance(u_m,u_n) = \abs{u_m - u_n} \le 1\]
pour tout naturels \(m,n \ge K\). Soit \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge K\). On a :
\[\abs{u_n - u_K} = u_n - u_K \le 1\]
d'où :
\[u_n \le u_K + 1\]
Pour tout naturel \(k \le K\), on a :
\[u_k \le u_n \le u_K + 1\]
En posant :
\[S = u_K + 1\]
on voit que :
\[u_n \le S\]
pour tout \(n \in \setN\). Une suite de Cauchy croissante est également majorée.
5.2. Décroissante
Soit une suite de Cauchy \(u : \setN \mapsto \setQ\) :
\[u : n \mapsto u_n\]
décroissante :
\[u_0 \ge u_1 \ge ... \ge u_k \ge ...\]
Comme :
\[u_n \le u_0\]
pour tout \(n \in \setN\), on voit que la suite est majorée par \(u_0\). On peut trouver un naturel \(K\) tel que :
\[\distance(u_m,u_n) = \abs{u_m - u_n} \le 1\]
pour tout naturels \(m,n \ge K\). Soit \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge K\). On a :
\[\abs{u_n - u_K} = u_K - u_n \le 1\]
d'où :
\[u_n \ge u_K - 1\]
Pour tout naturel \(k \le K\), on a :
\[u_k \ge u_n \ge u_K - 1\]
En posant :
\[I = u_K - 1\]
on voit que :
\[u_n \ge I\]
pour tout \(n \in \setN\). Une suite de Cauchy décroissante est également minorée.
6. Suite inverse
Soit un rationnel \(I_0\) vérifiant \(I_0 \strictsuperieur 0\) et la suite \(I : \setN \setminus \{ 0 \} \mapsto \setQ\) définie par :
\[I : n \mapsto I_n = \frac{I_0}{n}\]
pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ne 0\). Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(I_0\) est strictement positif, on a :
\[\epsilon \cdot \frac{1}{I_0} = \frac{\epsilon}{I_0} \strictsuperieur 0\]
Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver un naturel \(n\) tel que :
\[\frac{1}{n} \strictinferieur \frac{\epsilon}{I_0}\]
On a alors :
\[\frac{I_0}{n} \strictinferieur \epsilon\]
et :
\[\distance\left(0,\frac{I_0}{n}\right) = \abs{\frac{I_0}{n} - 0} = \abs{\frac{I_0}{n}} \strictinferieur \epsilon\]
On en déduit que :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{I_0}{n} = 0\]