Eclats de vers : Matemat : Structures algèbriques
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:algebre}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations
2. Monoïde
Soit un ensemble \(M\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((M,\opera)\) est un monoïde si \(\opera\) est associative.
2.1. Nomenclature
Lorsque l'opération \(\opera\) est évidente d'après le contexte, on dit simplement que \(M\) est un monoïde.
3. Groupes
Soit un ensemble \(G\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((G,\opera)\) est un groupe si :
- \(\opera\) est associative
- il existe un neutre pour \(\opera\)
- chaque élément de \(G\) possède un inverse pour \(\opera\)
3.1. Nomenclature
Lorsque l'opération \(\opera\) est évidente d'après le contexte, on dit simplement que \(G\) est un groupe.
3.2. Commutatif
Si \(\opera\) est également commutative, on dit que \((G,\opera)\) est un groupe abélien ou commutatif.
4. Monoïde et groupe
Soit un monoïde \((G,\opera)\) tel qu'il existe un neutre à droite \(n \in G\) pour \(\opera\) et que chaque élément \(x \in G\) admet un inverse à droite \(x^\inverse\) pour \(\opera\) :
\[x \opera x^\inverse = n\]
Soit :
\[y = x^\inverse \opera x\]
En utilisant l'associativité de \(\opera\), on se rend compte que :
\[y = x^\inverse \opera n \opera x = x^\inverse \opera x \opera x^\inverse \opera x = y \opera y\]
En utilisant ce résultat, on obtient :
\[y = y \opera n = y \opera y \opera y^\inverse = y \opera y^\inverse = n\]
Donc :
\[x^\inverse \opera x = n\]
et \(x^\inverse\) est un inverse de \(x\). On a aussi :
\[n \opera x = x \opera x^\inverse \opera x = x \opera n = x\]
L'élément \(n\) est donc l'unique neutre de \(G\) et tout élément \(x \in G\) admet un inverse. On en conclut que le couple \((G,\opera)\) est un groupe.
5. Anneaux
5.1. Introduction
Soit un ensemble \(A\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((A,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un anneau si :
- l'addition est commutative et associative
- il existe un neutre pour l'addition
- chaque élément de \(A\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
- la multiplication est associative
- la multiplication se distribue sur l'addition
5.2. Nomenclature et notations
Lorsque les opérations sont évidentes d'après le contexte, on dit simplement que \(A\) est un anneau.
Le résultat :
- d’une addition est appelé somme
- d’une multiplication est appelé produit
Soit un anneau \(A\). L'addition de \(x,y \in A\) est généralement notée :
\[x + y\]
Le neutre pour l’addition est appelé élément nul ou zéro, et noté \(0\). On a donc :
\[x + 0 = 0 + x = x\]
La multiplication est généralement notée :
\[x \cdot y\]
S’il existe, le neutre pour la multiplication est appelé unité ou un, et noté \(1\). On a alors :
\[x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\]
L'inverse de \(x\) pour l'addition, aussi nommé opposé, est noté \(-x\) :
\[x + (-x) = (-x) + x = 0\]
5.3. Catégories
5.3.1. Anneau unitaire
Un anneau est dit unitaire si la multiplication y admet également un neutre.
5.3.2. Anneau commutatif
Un anneau est dit commutatif si la multiplication y est commutative.
5.3.3. Anneau intègre
Un anneau \(A\) est dit intègre s’il est commutatif, unitaire, différent de l’anneau trivial \(\{0\}\) et que la relation :
\[a \cdot b = 0\]
pour \(a,b \in A\), implique alors :
\[a = 0 \ \text{ ou } \ b = 0\]
6. Corps
6.1. Introduction
Soit un ensemble \(\corps\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((\corps,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un corps si :
- L'addition est commutative et associative
- Il existe un neutre pour l'addition
- Chaque élément de \(\corps\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
- La multiplication est associative
- Il existe un neutre pour la multiplication
- Chaque élément de \(\corps\), à l'exception du neutre pour l'addition, possède un inverse pour la multiplication appelé inverse
- La multiplication se distribue sur l'addition
6.2. Nomenclature et notations
Lorsque les opérations sont évidentes d'après le contexte, on dit simplement que \(\corps\) est un corps.
Soit un corps \(\corps\). L'addition de \(x,y \in K\) est notée :
\[x + y\]
Le neutre pour l’addition est appelé élément nul ou zéro, et noté \(0\). On a donc :
\[x + 0 = 0 + x = x\]
La multiplication est notée :
\[x \cdot y\]
ou, plus simplement :
\[ x \ y \]
Le neutre pour la multiplication est appelé unité ou un, et noté \(1\). On a alors :
\[x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\]
L'inverse de \(x\) pour l'addition, aussi nommé opposé, est noté \(-x\) :
\[x + (-x) = (-x) + x = 0\]
et l'inverse de \(x\) pour la multiplication est noté \(x^{-1}\) ou \(1/x\) :
\[x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1\]
6.2.1. Symbole
Dans cet ouvrage, on utilise souvent le symbole \(\corps\) pour désigner un corps générique.
6.3. Corps commutatif
Un corps commutatif, ou champ algébrique, est un corps dans lequel la multiplication est commutative.
7. Soustraction
Lorsque l'addition est définie et que \(b\) possède un opposé \(-b\), on définit généralement l'opération de soustraction par :
\[a - b = a + (-b)\]
Le résultat d’une soustraction est appelé différence.
8. Division
Lorsque la multiplication est définie et que \(b\) dispose d'un inverse \(b^{-1}\), on définit généralement l'opération de division par :
\[\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}\]
On note aussi :
\[a / b = \frac{a}{b}\]
9. Les puissances
On définit généralement les puissances positives par :
\begin{align*} x^0 &= 1 \\ x^k &= x \cdot x^{k - 1} \end{align*}pour tout \(k \in \setN\). Si l'inverse de \(x\) existe, on définit généralement les puissances négatives par :
\[x^{-k} = (x^{-1})^k\]
pour tout \(k \in \setN\).
10. Opérations sur les ensembles
10.1. Somme d'ensembles
Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération d'addition. On définit la somme de deux sous-ensembles \(A,B \subseteq \Omega\) par :
\[A + B = \{ x + y : (x,y) \in A \times B \}\]
10.2. Somme directe
Si, pour tout \(s \in S\), il existe un et un seul couple \((x,y) \in A \times B\) tel que \(s = x + y\), on dit que \(S\) est la somme directe de \(A\) et \(B\) et on le note :
\[S = A \bigoplus B\]
10.3. Multiplication mixte
Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération de multiplication. On définit la multiplication de \(\lambda \in \Omega\) et de \(A \subseteq \Omega\) par :
\[\lambda \cdot A = \{ \lambda \cdot x : x \in A \}\]