Eclats de vers : Matemat : Sommes indicées
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:sommesIndicees}
1. Définition
Soit un corps commutatif \(\corps\) et l'ensemble d'indices \(\mathcal{Z}\). Supposons que l'on puisse écrire l'ensemble \(A \subseteq \corps\) sous la forme :
\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \}\]
On associe à \(A\) la fonction \(\varphi : \mathcal{Z} \mapsto A\) définie par :
\[\varphi(k) = a_k\]
pour tout \(k \in \mathcal{Z}\). Pour tout sous-ensemble \(I \subseteq \mathcal{Z}\), on définit alors :
\[\sum_{k \in I} a_k = \sum_{k \in I} \varphi(k)\]
sous réserve d'existence de la somme.
1.1. Fonction
Soit \(f : A \mapsto \corps\). On définit :
\[\sum_{k \in I} f(a_k) = \sum_{k \in I} (f \circ \varphi)(k)\]
2. Intervalles discrets
Soit \(m,n \in \setZ\). Nous définissons l'intervalle discret :
\[\setZ[m,n] = \{ z \in \setZ : m \le z \le n \}\]
Si \(\setZ[m,n] \subseteq \mathcal{Z}\), on a simplement :
\[\sum_{k \in \setZ[m,n]} a_k = a_m + a_{m+1} + ... + a_{n-1} + a_n\]
On note aussi :
\[\sum_{k = m}^n a_k = \sum_{k = n}^m a_k = \sum_{k \in \setZ[m,n] } a_k\]
3. Linéarité
Soit les ensembles :
\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\] \[B = \{ b_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\]
et \(\alpha, \beta \in \corps\). Si \(I \subseteq \mathcal{Z}\) compte un nombre fini d'éléments, on a clairement :
\[\sum_{k \in I} (\alpha \cdot a_{k} + \beta \cdot b_k) = \alpha \cdot \sum_{k \in I} a_k + \beta \cdot \sum_{k \in I} b_k\]
4. Produit cartésien
Soit les sous-ensembles \(I,J \subseteq \setZ\) comportant un nombre fini d'éléments, et :
\[A = \{ a_{ij} \in E : (i,j) \in I \times J \}\]
Il découle directement de la formule des sommes sur les produits cartésiens que :
\[\sum_{(i,j) \in I \times J} a_{ij} = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_{ij} = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} a_{ij}\]
4.1. Notation
On note :
\[\sum_{i,j = m}^n a_{ij} = \sum_{i = m}^n \sum_{j = m}^n a_{ij}\]
5. Somme d'un produit
Soit les ensembles :
\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\] \[B = \{ b_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\]
et les ensembles \(I,J \subseteq \mathcal{Z}\) comportant un nombre fini d'éléments. La somme du produit se déduit du résultat analogue des sommes génériques :
\[\sum_{(i,j) \in I \times J} a_i \cdot b_j = \left[ \sum_{i \in I} a_i \right] \cdot \left[ \sum_{j \in J} b_j \right]\]
6. Lemme du triangle
Soit le triangle discret :
\[\Delta = \{ (i,j) \in \setZ[0,N] \times \setZ[0,N] : \ j \le i \}\]
et un ensemble :
\[A = \{ a_{ij} : (i,j) \in \Delta \}\]
Le triangle \(\Delta\) peut être aussi défini par :
\[\Delta = \{ (i,j) \in \setZ^2 : 0 \le i \le N, \quad 0 \le j \le i\}\]
La somme sur \(\Delta\) peut donc se réécrire :
\[\sum_{(i,j) \in \Delta} a_{ij} = \sum_{i=0}^N \sum_{j=0}^i a_{ij}\]
Une autre définition alternative de \(\Delta\) nous donne :
\[\Delta = \{(i,j) \in \setZ^2 : 0 \le j \le N, \quad j \le i \le N\}\]
On a donc également :
\[\sum_{(i,j)\in\Delta} a_{ij} = \sum_{j=0}^N \sum_{i=j}^N a_{ij}\]
On en déduit une relation permettant d'inverser les sommes :
\[\sum_{i=0}^N \sum_{j=0}^i a_{ij} = \sum_{j=0}^N \sum_{i=j}^N a_{ij} = \sum_{(i,j)\in\Delta} a_{ij}\]