Eclats de vers : Matemat : Sommes et intégrales
Table des matières
1. Introduction
Soit une fonction décroissante \(f : \setR \mapsto \setR\). Choisissons \(k \in \setZ\). Comme \(f(k)\) maximise \(f\) sur \([k,k+1]\), l'intégrale vérifie :
\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le \int_k^{k + 1} f(k) \ dx= f(k) \cdot 1\]
Comme \(f(k)\) minimise \(f\) sur \([k-1,k]\), l'intégrale vérifie :
\[f(k) = f(k) \cdot 1 = \int_{k - 1}^k f(k) \ dx \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]
On en déduit l'encadrement :
\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le f(k) \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]
Soit \(m, n \in \setZ\). On a :
\[\sum_{k = m}^n \int_k^{k + 1} f(x) \ dx = \int_m^{n + 1} f(x) \ dx\]
et :
\[\sum_{k = m}^n \int_{k - 1}^k f(x) \ dx = \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]
En sommant les inégalités sur \(k \in \setZ[m,n]\), on obtient :
\[\int_m^{n + 1} f(x) \ dx \le \sum_{k = m}^n f(k) \le \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]
1.1. Sommes infinies
Sous réserve de convergence des sommes et des intégrales, on a :
\[\int_0^{+\infty} f(x) \ dx \le \sum_{k = 0}^{+\infty} f(k) \le \int_{-1}^{+\infty} f(x) \ dx\]