Eclats de vers : Matemat : Proportions métalliques
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Nombre d’or
On cherche un nombre \(\phi\) réel positif tel que :
\[ \unsur{\phi} = \phi - 1 \]
\[ 1 = \phi^2 - \phi \]
\[ \phi^2 - \phi - 1 = 0 \]
En utilisant la technique de résolution d’une équation du second degré, il vient :
\[ \delta^2 = \frac{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}{4 \cdot 1^2} = \frac{5}{4} \]
Les valeurs possibles pour \(\delta\) sont donc :
\[ \delta_+ = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
\[ \delta_- = - \frac{\sqrt{5}}{2} \]
On en déduit celles pour \(\phi\) :
\[ \phi_+ = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
\[ \phi_- = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} - \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \]
Comme nous cherchons une valeur de \(\phi\) positive, on rejette la seconde solution. On a donc :
\[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
1.1. Carré
L’expression du carré de \(\phi\) vient directement de la définition :
\[ \phi^2 = \phi + 1 \]
1.2. Cube
On a :
\begin{align*} \phi^3 &= \phi \cdot \phi^2 \\ &= \phi \cdot (\phi + 1) \\ &= \phi^2 + \phi \\ &= \phi + 1 + \phi \end{align*}et finalement :
\[ \phi^3 = 2 \ \phi + 1 \]
1.3. Inverse du carré
On a :
\begin{align*} \unsur{\phi^2} &= (\phi - 1)^2 \\ &= \phi^2 - 2 \ \phi + 1 \\ &= \phi + 1 - 2 \ \phi + 1 \end{align*}et finalement :
\[ \unsur{\phi^2} = 2 - \phi \]
1.4. Inverse du cube
On a :
\begin{align*} \unsur{\phi^3} &= \unsur{\phi} \cdot \unsur{\phi^2} \\ &= (\phi - 1) \ (2 - \phi) \\ &= 2 \ \phi - \phi^2 - 2 + \phi \\ &= 2 \ \phi - \phi - 1 - 2 + \phi \\ \end{align*}et finalement :
\[ \unsur{\phi^3} = 2 \ \phi - 3 \]
2. Nombre d’argent
On cherche un nombre \(\psi\) réel positif tel que :
\[ \unsur{\psi} = \psi - 2 \]
\[ 1 = \psi^2 - 2 \ \psi \]
\[ \psi^2 - 2 \ \psi - 1 = 0 \]
En utilisant la technique de résolution d’une équation du second degré, il vient :
\[ \delta^2 = \frac{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}{4 \cdot 1^2} = \frac{8}{4} \]
Les valeurs possibles pour \(\delta\) sont donc :
\[ \delta_+ = \frac{2 \ \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
\[ \delta_- = - \frac{2 \ \sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2} \]
On en déduit celles pour \(\psi\) :
\[ \psi_+ = 1 + \sqrt{2} \]
\[ \psi_- = 1 - \sqrt{2} \]
Comme nous cherchons une valeur de \(\psi\) positive, on rejette la seconde solution. On a donc :
\[ \psi = 1 + \sqrt{2} \]
3. Nombre de bronze
On cherche un nombre \(\varphi\) réel positif tel que :
\[ \unsur{\varphi} = \varphi - 3 \]
\[ 1 = \varphi^2 - 3 \ \varphi \]
\[ \varphi^2 - 3 \ \varphi - 1 = 0 \]
En utilisant la technique de résolution d’une équation du second degré, il vient :
\[ \delta^2 = \frac{9 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}{4 \cdot 1^2} = \frac{13}{4} \]
Les valeurs possibles pour \(\delta\) sont donc :
\[ \delta_+ = \frac{\sqrt{13}}{2} \]
\[ \delta_- = - \frac{\sqrt{13}}{2} \]
On en déduit celles pour \(\varphi\) :
\[ \varphi_+ = \frac{3+\sqrt{13}}{2} \]
\[ \varphi_- = \frac{3-\sqrt{13}}{2} \]
Comme nous cherchons une valeur de \(\varphi\) positive, on rejette la seconde solution. On a donc :
\[ \varphi = \frac{1+\sqrt{13}}{2} \]