Eclats de vers : Matemat : Produits
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:produits}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
- Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes
2. Introduction
Soit le corps \(\corps\) sur lequel est défini une relation d'ordre total ainsi des opérations d'addition, de multiplication, de soustraction, de division et de puissance similaires à celles de \(\setQ\).
Soit un ensemble \(\Omega\) et la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\). On note le produit de \(f\) sur \(X\) par :
\[\prod_{x \in X} f(x)\]
pour tout sous-ensemble \(X \subseteq \Omega\). Il s'agit intuitivement du produit des \(f(x) \in \corps\) lorsque \(x\) parcourt \(X\). Nous allons voir comment le formaliser.
3. Multiplicativité finie
Si deux ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) ne se chevauchent pas :
\[X \cap Y = \emptyset\]
le produit sur l'union des deux est intuitivement le produit des produits sur chacun d'entre-eux :
\[\prod_{z \in X \cup Y} f(z) = \left[ \prod_{z \in X} f(z) \right] \cdot \left[ \prod_{z \in Y} f(z) \right]\]
4. Ensemble vide
Comme \(X = X \cup \emptyset\) et \(X \cap \emptyset = \emptyset\), on en déduit que :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{x \in X \cup \emptyset} f(x) = \prod_{x \in X} f(x) \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x)\]
Le produit sur l'ensemble vide doit donc être le neutre pour la multiplication :
\[\prod_{x \in \emptyset} f(x) = 1\]
5. Singleton
Il semble également logique d'imposer que le produit sur un ensemble contenant un seul élément \(a \in X\) soit égal à \(f(a)\) :
\[\prod_{ x \in \{ a \} } f(x) = f(a)\]
Voilà qui complète les caractéristiques génériques des produits.
6. Algorithme
Soit l'ensemble \(X\) non vide, ensemble dont nous voulons évaluer le produit. Choisissons un élément \(a \in A\) et considérons la décomposition :
\[X = \{ a \} \cup ( X \setminus \{ a \} )\]
Comme l'intersection des deux ensembles du membre de droite est vide :
\[\{ a \} \cap ( X \setminus \{ a \} ) = \emptyset\]
on peut écrire :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{ x \in \{ a \} } f(x) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]
c'est-à-dire :
\[\prod_{x \in X} f(x) = f(a) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]
On en déduit un algorithme itératif permettant d'estimer le produit :
\[S \approx \prod_{x \in X} f(x)\]
Nous partons de :
\( S_0 = 0 \)
\( X_0 = X \)
A chaque étape \(k\), nous choisissons \(a_k \in X_k\) et nous adaptons notre estimation par :
\[S_{k + 1} = f(a_k) \cdot S_k\]
On retire ensuite \(a_k\) de \(X_k\) pour éviter de le compter plus d'une fois, ce qui nous donne l'ensemble suivant :
\[X_{k + 1} = X_k \setminus \{ a_k \}\]
7. Ensemble fini
Soit l'ensemble \(X\) contenant un nombre fini \(N \in \setN\) d'éléments :
\[X = \{ a_1, a_2, ..., a_N \}\]
En appliquant l'algorithme d'évaluation d'une somme, on finit par arriver à l'itération \(N\) avec :
\[X_N = \emptyset\]
On a simplement :
\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x) = S_N \cdot 1 = S_N\]
et :
\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]
On note :
\[\prod_{k = 1}^N f(a_k) = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]
7.1. Numérotation
Les éléments de \(X\) peuvent être numérotés différemment. Soit \(m, n \in \setZ\) et :
\[X = \{ a_m, a_{m + 1}, ..., a_{n - 1}, a_n \}\]
On a alors :
\[\prod_{x \in X} f(x) = f(a_m) \cdot f(a_{m+1}) \cdot ... \cdot f(a_{n-1}) \cdot f(a_n)\]
On note :
\[\prod_{k = m}^n f(a_k) = f(a_m) \cdot f(a_{m+1}) \cdot ... \cdot f(a_{n-1}) \cdot f(a_n)\]
7.2. Extension
Soit un ensemble \(X\) dont on peut extraire un sous-ensemble fini de la forme :
\[F = \{ a_m, a_{m + 1}, ..., a_{n - 1}, a_n \} \subseteq X\]
tel que :
\[f(x) = 1\]
pour tout \(x \in X \setminus F\). La somme s'écrit alors :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{x \in F} f(x) = \prod_{k = m}^n f(a_k)\]
8. Ensemble dénombrable
8.1. Naturels
Soit :
\[X = \{ a_0, a_1, a_2,... \} = \{ a_k : k \in \setN \}\]
Si la suite des \(\{ S_n : n \in \setN \}\) définie par :
\[S_n = \prod_{k = 0}^n f(a_k) = f(a_0) \cdot f(a_1) \cdot ... \cdot f(a_n)\]
pour tout \(n \in \setN\) converge vers un certain \(S \in \corps\), on définit :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \lim_{n \to \infty} S_n = S\]
c'est-à-dire :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \lim_{n \to \infty} \prod_{k = 0}^n f(a_k)\]
On introduit la notation :
\[\prod_{k = 0}^{+\infty} f(a_k) = \lim_{n \to \infty} \prod_{k = 0}^n f(a_k)\]
8.2. Entiers
Soit :
\[X = \{ ...,a_{-2},a_{-1},a_0, a_1, a_2,... \} = \{ a_k : k \in \setZ \}\]
Si la suite des \(\{ S_n : n \in \setN \}\) définie par :
\[S_n = \prod_{k = -n}^n f(a_k) = f(a_{-n}) \cdot f(a_{-n+1}) \cdot ... \cdot f(a_{n-1}) \cdot f(a_n)\]
pour tout \(n \in \setN\) converge vers un certain \(S \in \corps\), on définit :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \lim_{n \to \infty} S_n = S\]
On introduit la notation :
\[\prod_{k = -\infty}^{+\infty} f(a_k) = \lim_{n \to \infty} \prod_{k = -n}^{n} f(a_k)\]
8.3. Extension
Soit un ensemble \(X\) dont on peut extraire un sous-ensemble \(D\) de la forme :
\[D = \{a_k : k \in \setN\} \subseteq X\]
ou :
\[D = \{a_k : k \in \setZ\} \subseteq X\]
tel que :
\[f(x) = 1\]
pour tout \(x \in X \setminus D\). La somme s'écrit alors :
\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{x \in D} f(x)\]