Eclats de vers : Matemat : Produit extérieur
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:prdext}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
- Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs
2. Dimension 2
Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v \in E\). On a :
\( u = \sum_{i = 1}^2 u_i e_i \)
\( v = \sum_{i = 1}^2 v_i e_i \)
pour certains \(u_i,v_i \in S\).
Les symboles \(\permutation_{ij}\quad (i,j=1,2)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v\) la double somme :
\[u \wedge v = \sum_{i,j=1}^2 \permutation_{ij} u_i v_j\]
représente (au signe près) la surface du parallélogramme dont les sommets sont \((0,0)\), \((u_1,u_2)\), \((v_1,v_2)\) et \((u_1+v_1,u_2+v_2)\). On impose de plus l'antisymétrie :
\[u \wedge v = - v \wedge u\]
afin de donner une orientation à ce parallélogramme. Ces contraintes nous donnent :
\( u = e_1, \quad v = e_1 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 0 \)
\( u = e_1, \quad v = e_2 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 1 \)
\( u = e_2, \quad v = e_2 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 0 \)
\( u = e_2, \quad v = e_1 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = -1 \)
ce qui nous amène à :
\( \permutation_{11} = \permutation_{22} = 0 \)
\( \permutation_{12} = 1 \qquad \permutation_{21} = -1 \)
On voit qu'il y a un certain arbitraire dans notre choix, on aurait pu également choisir :
\( \permutation_{11} = \permutation_{22} = 0 \)
\( \permutation_{12} = -1 \qquad \permutation_{21} = 1 \)
Le choix du signe détermine ce que l'on appelle l'orientation de l'espace \(E\).
3. Dimension 3
Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2,e_3}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2,e_3)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v,w \in E\). On a :
\( u = \sum_{i = 1}^3 u_i e_i \)
\( v = \sum_{i = 1}^3 v_i e_i \)
\( w = \sum_{i = 1}^3 w_i e_i \)
pour certains \(u_i,v_i,w_i \in S\).
Les symboles \(\permutation_{ijk} \quad (i,j=1,2,3)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v,w\) le scalaire :
\[u \wedge v \wedge w = \sum_{i,j,k=1}^3 \permutation_{ijk} u_i v_j w_k\]
représente (au signe près) le volume du parallélipipède dont les côtés sont définis par \(u\), \(v\) et \(w\). On impose également l'antisymétrie
\( u \wedge v \wedge w = - u \wedge w \wedge v \)
\( u \wedge v \wedge w = - v \wedge u \wedge w \)
Par un procédé analogue au cas bidimensionnel, on montre qu'un choix possible est donné par :
\( \permutation_{123} = 1 \)
\( \permutation_{ijj} = \permutation_{iij} = \permutation_{iji} = 0 \)
\( \permutation_{ijk} = \permutation_{jki} = \permutation_{kij} \)
\( \permutation_{ijk} = - \permutation_{jik} \qquad \permutation_{ijk} = - \permutation_{ikj} \)
3.1. Produit vectoriel
On peut également former un vecteur avec l'opérateur \(\wedge\). On pose simplement :
\[u \wedge v = \sum_{i,j,k = 1}^3 \left( \permutation_{ijk} u_j v_k \right) e_i\]
Les composantes sont donc données par :
\( (u \wedge v)_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 \)
\( (u \wedge v)_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 \)
\( (u \wedge v)_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 \)
On peut relier le produit extérieur au produit scalaire en constatant que :
\[\scalaire{u}{v \wedge w} = \sum_{i,j,k} \permutation_{ijk} u_i v_j w_k = u \wedge v \wedge w\]
4. Permutations en dimension \(N\)
Voyons quelles sont les propriétés communes aux \(\permutation_*\) présentés ci-dessus. On remarque que \(\permutation_{12} = \permutation_{123} = 1\). On note aussi que \(\permutation_*\) est antysimétrique puisque l'inversion de deux indices change le signe. Ces propriétés nous permettent de généraliser la définition du produit extérieur à un espace de dimension \(N\). On impose que le \(\permutation\) à \(N\) indices vérifie les conditions suivantes :
\label{def:eps}
\( \permutation_{1,2,...,N} = 1 \)
\( \permutation_{i ... j ... k ... l} = - \permutation_{i ... k ... j ... l} \)
Ces conditions nous permettent de retrouver la valeur de n'importe quel \(\permutation_{ijk...l}\). Si deux indices sont égaux, l'antisymétrie nous permet d'affirmer que :
\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = - \permutation_{i ... j ... j ... k}\]
et donc :
\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = 0\]
Les seuls \(\permutation\) non nuls sont donc ceux dont tous les indices \((i,j,k,...,s)\) sont distincts, c'est-à-dire les permutations de \((1,2,3,...,N)\). On se rend compte que si \(p \in \setN\) est le nombre de permutations de couples d'indices nécessaires pour obtenir \((i,j,k,...,s)\) à partir de \((1,2,3,...,N)\), on a :
\[\permutation_{i j k ... l} = (-1)^p\]
5. Tenseur de permutation
Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(S\). Nous définissons le tenseur de permutation \(\mathcal{E} \in \tenseur_N(E)\) par :
\[\mathcal{E} = \sum_{i_1,i_2,...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...,i_N} \cdot e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes ... \otimes e_{i_N}\]
6. Produit extérieur généralisé
Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\), \(M \le N\) et les vecteurs \(u_1,u_2,...u_M \in E\) de coordonnées \(u_k^i\) :
\[u_k = \sum_{i = 1}^N u_k^i e_i\]
Nous définissons leur produit extérieur par une contraction d'ordre \(M\) :
\[u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \contraction{ \mathcal{E} }{M}{ u_M \otimes ... \otimes u_1 }\]
Par orthonormalité de la base, on a :
\[\scalaire{e_j}{u_k} = u_k^j\]
Le produit extérieur s'écrit donc :
\[\mathcal{U} = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \sum_{i_1,i_2,...i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot e_{i_1} \otimes ... \otimes e_{ i_{N - M} } \cdot u_M^{i_N} \cdot \ldots \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} }\]
ce qui nous donne les coordonnées du tenseur \(\mathcal{U} \in \tenseur_{N-M}(E)\) par rapport à la base \((e_1,...,e_N)\) :
\[U_{ i_1,...,i_{N - M} } = \sum_{i_{N - M + 1},...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} } \cdot \ldots \cdot u_M^{i_N}\]
On vérifie les propriétés suivantes :
\( u \wedge v = - v \wedge u \)
\( u \wedge u = 0 \)
\( (\alpha u + \beta v) \wedge w = \alpha u \wedge w + \beta v \wedge w \)
\( w \wedge (\alpha u + \beta v) = \alpha w \wedge u + \beta w \wedge v \)
pour tout \(u,v,w,... \in E\) et \(\alpha,\beta \in S\).
6.1. \(N\) vecteurs
Dans le cas où \(M = N\), le produit extérieur est le scalaire :
\[\Delta = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_N = \sum_{i,j,...,k = 1}^N \permutation_{ij...k} \cdot u_1^i \cdot u_2^j \cdot \ldots \cdot u_N^k\]
On appelle le \(\Delta\) ainsi obtenu le déterminant des \(N\) vecteurs \(u_i\), et on le note :
\[\det(u_1,...,u_N) = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_N\]
7. Déterminant d'une matrice
Soit une matrice \(A \in \matrice(K,N,N)\) :
\[A = \left( a_{ij} \right)_{i,j}\]
et les vecteurs correspondants :
\[a_i = \sum_j a_{ij} e_j\]
On définit alors simplement :
\( \det(A) = a_1 \wedge ... \wedge a_N = \sum_{i_1,i_2,...i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} a_{1, i_1 } ... a_{N, i_N} \)