Eclats de vers : Matemat : Polynômes du second degré

Soit \(a,b,c \in \setR\) et le polynôme du second degré \(p : \setR \mapsto \setR\) défini par :

\[ p(x) = a \ x^2 + b \ x + c \]

pour tout \(x \in \setR\). Pour obtenir les valeurs des racines de ce polynôme, nous devons résoudre en \(x\) l’équation :

\[ p(x) = 0 \]

c’est-à-dire :

\[ a \ x^2 + b \ x + c = 0 \]

Soit l’équation en \(x\) :

\[ x^2 = s \]

En prenant la racine carrée des deux côtés, il vient :

\[ x = \sqrt{s} \]

On a bien :

\[ x^2 = \left(\sqrt{s}\right)^2 = s \]

Cette solution n’est pas unique. En effet, on a aussi :

\[ \left(- \sqrt{s}\right)^2 = s \]

Les deux solutions en \(x\) de l’équation ci-dessus sont donc :

\[ x_+ = \sqrt{s} \]

\[ x_- = - \sqrt{s} \]

Remarquons tout d’abord que si \(a = 0\), l’équation se réduit à :

\[ b \ x + c = 0 \]

On a alors, soit \(b = 0\) et l’équation n’est vérifée que si :

\[ c = 0 \]

soit \(b \ne 0\), ce qui nous donne immédiatement :

\[ x = - \frac{b}{c} \]

Nous pouvons à présent supposer que \(a \ne 0\).

Nous allons tenter de réécrire notre équation sous une forme la plus proche possible au carré parfait :

\[ (x + \gamma)^2 = x^2 + 2 \ \gamma \ x + \gamma^2 \]

où \(\gamma\) est un réel qui reste à déterminer. Pour obtenir le même coefficient en \(x^2\), on peut diviser l’équation à résoudre par \(a\) :

\[ x^2 + \frac{b}{a} \ x + \frac{c}{a} = 0 \]

Nous voulons également que le coefficient en \(x\) soit le même que dans le carré parfait :

\[ 2 \ \gamma = \frac{b}{a} \]

ce qui nous donne :

\[ \gamma = \frac{b}{2 \ a} \]

L’équation à résoudre devient :

\[ x^2 + 2 \ \gamma \ x + \frac{c}{a} = 0 \]

Nous pouvons faire apparaître le terme en \(\gamma^2\) en l’ajoutant dans les deux membres de l’équation :

\[ x^2 + 2 \ \gamma \ x + \gamma^2 + \frac{c}{a} = \gamma^2 \]

Les trois premiers termes forment un carré parfait que nous pouvons isoler :

\[ x^2 + 2 \ \gamma \ x + \gamma^2 = \gamma^2 - \frac{c}{a} \]

puis factoriser :

\[ (x + \gamma)^2 = \gamma^2 - \frac{c}{a} \]

Remplaçons \(\gamma\) par \(b/2 \ a\) :

\[ \left(x + \frac{b}{2 \ a}\right)^2 = \frac{b^2}{4 \ a^2} - \frac{c}{a} \]

Mettons les fractions du membre de droite au même dénominateur :

\[ \left(x + \frac{b}{2 \ a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4 \ a \ c}{4 \ a^2} \]

Le carré du nombre réel dans le membre de gauche est toujours positif ou nul. Plusieurs cas peuvent se présenter :

• si la fraction du membre de droite est négative, l’équation est impossible et n’admet donc aucune solution
• si la fraction du membre de droite est positive ou nul nous pouvons prendre sa racine carrée

Pour savoir si cette fraction est positive, il suffit d’examiner le numérateur, le dénominateur étant le carré d’un nombre strictement positif, il est également strictement positif. Nous supposons dans la suite que :

\[ b^2 - 4 \ a \ c \ge 0 \]

En prenant la racine carrée des deux membres de notre équation à résoudre, on obtient deux solutions possibles :

\[ x_+ + \frac{b}{2 \ a} = \sqrt{\frac{b^2 - 4 \ a \ c}{4 \ a^2}} \]

\[ x_- + \frac{b}{2 \ a} = - \sqrt{\frac{b^2 - 4 \ a \ c}{4 \ a^2}} \]

ou encore :

\[ x_+ = - \frac{b}{2 \ a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4 \ a \ c}}{2 \ a} \]

\[ x_- = - \frac{b}{2 \ a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4 \ a \ c}}{2 \ a} \]

c’est-à-dire :

\[ x_+ = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 \ a \ c}}{2 \ a} \]

\[ x_- = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 \ a \ c}}{2 \ a} \]

expressions qui nous permettent de calculer les valeurs des solutions \(x_+\) et \(x_-\), qui sont aussi les racines du polynôme \(p\) :

\[ p(x_+) = p(x_-) = 0 \]

La grandeur :

\[ \Delta = b^2 - 4 \ a \ c \]

est appelée discriminant ou réalisant de l’équation du second degré. On la note souvent \(\Delta\) ou \(\rho\).

Les solutions peuvent se réécrire en utilisant le discriminant :

\[ x_+ = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \ a} \]

\[ x_- = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \ a} \]

Le signe du discriminant nous permet de connaître le nombre de solutions de l’équation du second degré :

• si \(\Delta > 0\), l’équation du second degré admet deux solutions
• si \(\Delta = 0\), l’équation du second degré admet une seule solution
• si \(\Delta < 0\), l’équation est impossible, il n’existe aucune solution réelle