Eclats de vers : Matemat : Polygones

Soit un nombre naturel \(n\).

Un polygone à \(n\) côtés est une figure géométrique délimitée par \(n\) segments reliant \(n\) points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du polygone, tandis que chaque segment est appelé côté du polygone.

Le schéma ci-dessus représente un exemple de polygone à sept côtés de sommets \(P_1,P_2,...,P_7\). Les côtés sont :

\[ [P_1,P_2] \]

\[ [P_2,P_3] \]

\[ \ldots \]

\[ [P_6,P_7] \]

\[ [P_7,P_1] \]

On définit généralement un polygone par la liste de ces sommets. Le polygone du schéma ci-dessus est appelé polygone \(P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7\).

Les polygones les plus courants portent un nom. Nous avons déjà rencontré le triangle, qui n’est rien d’autre qu’un polygone à trois côtés. En voici quelques autres :

Nom	Nombre de côtés
triangle	3
quadrilatère	4
pentagone	5
hexagone	6
heptagone	7
octogone	8
ennéagone	9
décagone	10
hendécagone	11
dodécagone	12

Une diagonale d’un polygone \(\mathcal{P}\) est un segment obtenu en reliant deux sommets non adjacents de \(\mathcal{P}\).

Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([P_1,P_5]\) et \([P_5,P_7]\) sont des diagonales du polygone \(P_1 P_2 \ldots P_7\) :

Un polygone régulier est un polygone dont :

• tous les côtés ont la même longueur
• tous les angles sont de même amplitude

Une figure \(\mathcal{F}\) est dite invariante sous rotation d’un angle \(\alpha\) si il existe un point \(O\) tel que \(\mathcal{F}\) se confond avec son image par une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\) :

\[ \mathcal{R}(\mathcal{F}) \equiv \mathcal{F} \]

Ses côtés et ses angles étant identiques, un polygone régulier à \(n\) côtés est invariant lorsqu’on lui applique une rotation de :

\[ \frac{2 \ \pi}{n} = \frac{360^\circ}{n} \]

Dans le cas d’un polygone régulier, tous les angles sont égaux. Notons \(\alpha_n\) un angle quelconque d’un polygone à \(n\) côtés. La somme des angles vaut :

\[ n \ \alpha_n = (n - 2) \ \pi \]

On a donc :

\[ \alpha_n = \frac{(n - 2) \ \pi}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]

On a en particulier le tableau suivant :

Polygone régulier	Nombre de côtés	Somme des angles	Angle
quadrilatère	4	\(360^\circ\)	\(360^\circ/4 = 90^\circ\)
pentagone	5	\(540^\circ\)	\(540^\circ/5 = 108^\circ\)
hexagone	6	\(720^\circ\)	\(720^\circ/6 = 120^\circ\)
octogone	8	\(1080^\circ\)	\(1080^\circ/8 = 135^\circ\)
décagone	10	\(1440^\circ\)	\(1440^\circ/10 = 144^\circ\)
dodécagone	12	\(1800^\circ\)	\(1800^\circ/12 = 150^\circ\)

On remarque aussi que :

\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 2) \ \pi}{n} = \pi \]

Lorsque le nombre de côtés devient très grand, l’angle \(\alpha_n\) converge vers \(\pi = 180^\circ\).

On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est circonscrit au polygone \(\mathcal{P}\), ou que \(\mathcal{P}\) est inscrit dans \(\mathscr{C}\), si tous les sommets de \(\mathcal{P}\) appartiennent à \(\mathscr{C}\).

Le schéma ci-dessous représente un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

On constate que les six angles au centre d’amplitude \(\alpha\) forment un tour complet :

\[ 6 \ \alpha = 2 \ \pi = 360^\circ \]

On a donc :

\[ \alpha = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \]

Examinons le triangle \(OAB\). Les longueurs des deux côtés reliés au centre \(O\) sont de longueurs égales au rayon \(r\). Il s’agit donc d’un triangle isocèle et les angles correspondants sont par symétrie de même amplitude :

\[ \beta = \gamma \]

La somme des angles du triangle \(OAB\) vaut \(180^\circ\) :

\[ \alpha + \beta + \gamma = 60^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]

On en déduit que :

\[ \beta = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \]

Le triangle \(OAB\) a donc ses trois angles de même amplitude :

\[ \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \]

Il s’agit donc d’un triangle équilatéral dont les longueurs des côtés valent :

\[ c = r \]

Ce résultat montre aussi que les angles internes d’un hexagone valent :

\[ \beta + \gamma = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \]

Le schéma devient donc :

Ce constat donne une méthode pour tracer aisément un hexagone régulier :

• tracer le cercle de centre \(O\)
• laisser le compas ouvert au même rayon \(r\)
• reporter le rayon du compas sur le cercle jusqu’à obtenir les six sommets de l’hexagone

Le schéma ci-dessous représente un hexagone régulier muni de toutes ses diagonales, les diamètres du cercle et les deux grands triangles formant un hexagramme :

Le cercle est de rayon \(r\). On définit les distances :

\[ a = \abs{CG} \]

\[ b = \abs{GE} \]

\[ c = \abs{OG} \]

\[ d = \abs{GD} \]

Par symétrie, on a :

\[ a = b \]

\[ \delta = \epsilon \]

\[ \alpha = \beta \]

\[ \lambda = \mu \]

Intéressons-nous à présent au triangle \(CGO\). On constate que \(\delta\) et \(\epsilon\) forment ensemble un angle plat de 180° :

\[ \delta + \epsilon = 180^\circ \]

Comme ces deux angles sont égaux, on a :

\[ 2 \ \delta = 180^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \delta = 90^\circ \]

Le triangle \(CGO\) est donc un triangle rectangle dont l’hypothénuse vaut :

\[ \abs{OE} = r \]

Le schéma ci-dessous représente un hexagone régulier muni de toutes ses diagonales, les diamètres du cercle et les deux grands triangles formant un hexagramme :

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des longueurs et des angles.

Le cercle est de rayon \(r\). On définit les distances :

\[ a = \abs{HD} \]

\[ c = \abs{HG} \]

Le schéma ci-dessous représente un hexagone régulier muni de ses diagonales :

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des longueurs et des angles.

Le cercle est de rayon \(r\). On définit les distances :

\begin{align*} a &= \abs{OI} \\ b &= \abs{GI} = \abs{IH} \\ c &= \abs{OG} = \abs{OH} \\ d &= \abs{IJ} \\ e &= \abs{GH} \\ f &= \abs{GJ} \end{align*}

Nous avons vu précédemment que les côtés des grands triangles équilatéraux formant l’hexagramme coupent le rayon en deux parties égales. On a donc :

\[ c = \frac{r}{2} \]

Le schéma ci-dessous représente un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

On constate que les cinq angles au centre d’amplitude \(\alpha\) forment un tour complet :

\[ 5 \ \alpha = 2 \ \pi = 360^\circ \]

On a donc :

\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{5} = 72^\circ \]

Examinons le triangle \(OAB\). Les longueurs des deux côtés reliés au centre \(O\) sont de longueurs égales au rayon \(r\). Il s’agit donc d’un triangle isocèle et les angles correspondants sont par symétrie de même amplitude :

\[ \beta = \gamma \]

La somme des angles du triangle \(OAB\) vaut \(180^\circ\) :

\[ \alpha + \beta + \gamma = 72^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]

On en déduit que :

\[ \beta = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = 54^\circ \]

Ce résultat montre aussi que les angles internes d’un pentagone valent :

\[ \beta + \gamma = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ \]

Le schéma devient donc :

Le schéma ci-dessous représente un pentagone muni de toutes ses diagonales formant un pentagramme, ainsi que les rayons du cercle circonscrit :

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.

Examinons le triangle \(ABE\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + 108^\circ = 180^\circ \]

On en déduit la valuer des deux autres angles :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ \]

L’angle compris entre un côté du pentagone et la plus proche de ses diagonales vaut 36°.

Le schéma ci-dessous représente un pentagone muni de toutes ses diagonales formant un pentagramme, ainsi que les rayons du cercle circonscrit :

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.

L’angle \(\alpha\) forme, avec deux angles de 36°, un angle interne du pentagone. On a donc :

\[ \alpha + 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \alpha = 108^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 36^\circ \]

La somme des angles du triangle \(AFG\) nous donne :

\[ \alpha + 2 \ \gamma = 36^\circ + 2 \ \gamma = 180^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \gamma = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ \]

Examinons à présent le triangle \(AFE\). On obtient directement la valeur de l’angle \(\theta\) par :

\[ \theta + 36^\circ + 36^\circ = 180^\circ \]

qui nous donne :

\[ \theta = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ \]

Le schéma ci-dessous représente un pentagone muni de toutes ses diagonales formant un pentagramme, ainsi que les rayons du cercle circonscrit :

Nous avons déjà tenu compte de la symétrie dans la notation des longueurs.

On définit les distances :

\[ a = \abs{BG} = \abs{FE} \]

\[ b = \abs{GH} = \abs{HF} \]

\[ c = \abs{AF} = \abs{ID} \]

\[ d = \abs{FJ} = \abs{JI} \]

Le pentagone régulier est invariant lorsqu’on le fait tourner d’un cinquième de tour, c’est-à-dire de 72°. Les longueurs, les proportions et les angles entre ses côtés et ses diagonales ne varient donc pas non plus. En particulier, si on fait tourner le triangle \(BGA\) de 72° dans le sens horlogique, on obtient le triangle \(AFE\), qui possède des propriétés identiques. Leurs côtés correspondants sont donc égaux et :

\[ a = c \]

En utilisant le même raisonnement, si on fait tourner le triangle \(AFE\) de 72° dans le sens horlogique, on obtient le triangle \(EID\), qui possède des propriétés identiques. Leurs côtés correspondants sont donc égaux et :

\[ 2 \ b = 2 \ d \]

c’est-à-dire :

\[ b = d \]

On a aussi comme conséquences immédiates :

\[ \abs{AF} = c = a = \abs{FE} \]

et :

\[ \abs{BF} = a + 2 \ b = c + 2 \ d = \abs{FD} \]

Le schéma ci-dessous représente un pentagone muni de toutes ses diagonales formant un pentagramme, ainsi que les rayons du cercle circonscrit :

Nous avons tenu compte de la symétrie et de l’invariance sous rotation d’un cinquième de tour dans la notation des longueurs.

Le cercle est de rayon \(r\). La longueur du côté du pentagone se note :

\[ l = \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{DE} = \abs{EA} \]

On définit aussi les distances :

\[ a = \abs{BF} = \abs{FD} \]

\[ c = \abs{AF} = \abs{FE} \]

Le schéma ci-dessous représente un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

La longueur du côté du pentagone se note :

\[ l = \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{DE} = \abs{EA} \]

On définit aussi les distances :

\[ a = \abs{AF} \]

\[ b = \abs{FB} \]

\[ c = \abs{OF} \]

Le schéma ci-dessous représente un octogone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

On constate que les huit angles au centre d’amplitude \(\alpha\) forment un tour complet :

\[ 8 \ \alpha = 2 \ \pi = 360^\circ \]

On a donc :

\[ \alpha = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]

Examinons le triangle \(OAB\). Les longueurs des deux côtés reliés au centre \(O\) sont de longueurs égales au rayon \(r\). Il s’agit donc d’un triangle isocèle et les angles correspondants sont par symétrie de même amplitude :

\[ \beta = \gamma \]

La somme des angles du triangle \(OAB\) vaut \(180^\circ\) :

\[ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]

On en déduit que :

\[ \beta = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67,5^\circ \]

Ce résultat montre aussi que les angles internes d’un octogone valent :

\[ \beta + \gamma = 67,5^\circ + 67,5^\circ = 135^\circ \]

Le schéma devient :

Le schéma ci-dessous représente un octogone régulier muni de certaines de ses diagonales, ainsi que les diamètres du cercle :

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.

Dans le quadrilatère \(IJKL\), la somme des angles vaut 360° :

\[ 4 \ \delta = 360^\circ \]

ce qui nous donne la valeur de \(\delta\) :

\[ \delta = 90^\circ \]

Comme \(\delta\) et \(\epsilon\) forment ensemble un angle plat, on a :

\[ \delta + \epsilon = 90^\circ + \epsilon = 180^\circ \]

et :

\[ \epsilon = 90^\circ \]

La somme des angles dans le quadrilatère \(EFJK\) nous donne :

\[ 2 \ \epsilon + 2 \ \tau = 2 \cdot 90^\circ + 2 \ \tau = 360^\circ \]

d’où :

\[ \tau = \frac{360^\circ - 2 \cdot 90^\circ}{2} = 90^\circ \]

Comme \(\epsilon\) et \(\chi\) forment ensemble un angle plat, on a :

\[ \epsilon + \chi = 90^\circ + \chi = 180^\circ \]

et :

\[ \chi = 90^\circ \]

La somme des angles dans le triangle \(CLB\) nous donne :

\[ 2 \ \alpha + \chi = 2 \ \alpha + 90^\circ = 180^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Les angles \(\alpha\) et \(\gamma\) forment, avec un angle de 67.5°, un des angles internes de l’octogone qui vaut 135°. On a donc :

\[ \alpha + \gamma + 67.5^\circ = 45^\circ + \gamma + 67.5^\circ = 135^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \gamma = 135^\circ - 45^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ \]

Le schéma ci-dessous représente un octogone régulier muni de certaines de ses diagonales, ainsi que les diamètres du cercle :

Nous avons tenu compte de la symétrie, de l’invariance sous rotation et des angles droits dans la notation des longueurs et des angles.

Le cercle est de rayon \(r\). La longueur du côté de l’octogone se note :

\[ l = \abs{AB} = \abs{BC} = \ldots \]

En tenant compte des multiples quadrilatères qui sont des rectangles, on obtient :

\[ l = \abs{LI} = \abs{KJ} = \ldots \]

On définit aussi la distance :

\[ a = \abs{CL} = \abs{DK} = \ldots \]

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.

\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{n} \]

\[ \alpha = 2 \ \mu \]

\[ \mu = \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \ \pi}{2 \ n} \]

\[ \mu = \frac{\pi}{n} \]

\[ p = \lim_{n \to \infty} 2 \ n \ r \ \sin\mu \]

\[ p = r \ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) \]

Quand \(r = 1\) :

\[ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \]

\[ p = r \ \lim_{n \to \infty} n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \ r \]

\[ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \]

\[ \lim_{n \to \infty} n \sin(\pi/n) = \pi \]

Considérons le cas d’un hexagone. On a \(n = 6\), un angle :

\[ \alpha = \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \]

On a l’approximation de \(\pi\) :

\[ \pi \approx 6 \sin 30^\circ = 6 \cdot \unsur{2} = 3 \]

Le schéma ci-dessous représenté un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\), de rayon \(r\) et de diamètre \(d\) :

Le nombre pi, noté \(\pi\), se définit comme étant le rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre. Si \(p\) est le périmètre de \(\mathscr{C}\), on a donc :

\[ \pi = \frac{p}{d} \]

ou encore :

\[ p = \pi \ d \]

Comme le diamètre vaut deux fois le rayon \(r\) :

\[ d = 2 \ r \]

on en déduit la forme alternative :

\[ p = 2 \ \pi \ r \]

TODO : adapter

L’amplitude d’un angle, exprimée en radians, peut se définir comme le rapport entre :

• la longueur d’un arc de cercle
  • dont le centre est situé au sommet de l’angle
  • qui est délimité par les côtés de l’angle
• le rayon de ce même arc de cercle

Dans le schéma ci-dessus, le rayon de l’arc de cercle \(\arcdecercle{DE}\) vaut :

\[ \mathscr{R} = \abs{AD} \]

et sa longueur vaut :

\[ \mathscr{L} = \abs{\arcdecercle{AB}} \]

l’amplitude \(\alpha\) de l’angle \(\anglecirc{BAC}\) vaut :

\[ \alpha = \frac{\mathscr{L}}{\mathscr{R}} \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\pi} \ \sin(\pi/n) = 1 \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} = 1 \]