Eclats de vers : Matemat : Partitions
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:partitions}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
2. Définition
Une partition, ou découpage, d'un ensemble \(A\) est une collection de sous-ensembles de \(A\) :
\[\mathcal{P} = \{ P(x) \in \sousens(A) : x \in X \}\]
vérifiant certaines propriétés : les ensembles de \(\mathcal{P}\) doivent permettre de reconstituer \(A\) par leur union :
\[A = \bigcup_{x \in X} P(x)\]
et ne doivent pas se chevaucher. Leur intersection est donc vide dès que \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\) :
\[P(x) \cap P(y) = \emptyset\]
On note \(\partition(A)\) l'ensemble des collections formant une partition de \(A\).
3. Discrètes
Pour qu'une collection \(\{A_1,A_2,...\}\) de sous-ensembles de \(A\) forme une partition de \(A\), il faut que :
\[A = \bigcup_i A_i\]
et que :
\[A_i \cap A_j = \emptyset\]
pour tout \(i \ne j\).