Eclats de vers : Matemat : Parité
Table des matières
\label{chap:parite}
1. Définition
1.1. Fonction paire
On dit qu'une fonction \(\sigma : \corps \mapsto \corps\) est paire si :
\[\sigma(-x) = \sigma(x)\]
pour tout réel \(x\).
1.2. Fonction impaire
On dit qu'une fonction \(\alpha : \corps \mapsto \corps\) est impaire si :
\[\alpha(-x) = - \alpha(x)\]
pour tout réel \(x\).
2. Décomposition en partie paire et impaire
Soit une fonction \(\varphi : \corps \mapsto \corps\). La fonction \(\sigma\) définie par :
\[\sigma(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big]\]
pour tout réel \(x\) vérifie :
\[\sigma(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) + \varphi(x)\Big] = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big] = \sigma(x)\]
Cette fonction est donc paire. La fonction \(\alpha\) définie par :
\[\alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big]\]
pour tout réel \(x\) vérifie :
\[\alpha(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) - \varphi(x)\Big] = - \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = - \alpha(x)\]
Cette fonction est donc impaire. On voit que :
\[\sigma(x) + \alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x) + \varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = \frac{2}{2} \ \varphi(x) = \varphi(x)\]
On a donc la décomposition :
\[\varphi = \sigma + \alpha\]
où \(\sigma\) est paire et \(\alpha\) impaire. On dit que \(\sigma\) est la composante paire de \(\varphi\) et que \(\alpha\) est la composante impaire de \(\varphi\).