Eclats de vers : Matemat : Parité
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:parite}
1. Définition
On dit qu'une fonction \(\sigma : \corps \mapsto \corps\) est paire si :
\[\sigma(-x) = \sigma(x)\]
pour tout réel \(x\). Inversément, on dit qu'une fonction $α : \corps \mapsto \corps est impaire si :
\[\alpha(-x) = - \alpha(x)\]
pour tout réel \(x\).
2. Décomposition
Soit une fonction \(\varphi : \corps \mapsto \corps\). La fonction \(\sigma\) définie par :
\[\sigma(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big]\]
pour tout réel \(x\) vérifie :
\[\sigma(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) + \varphi(x)\Big] = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big] = \sigma(x)\]
Cette fonction est donc paire. La fonction \(\alpha\) définie par :
\[\alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big]\]
pour tout réel \(x\) vérifie :
\[\alpha(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) - \varphi(x)\Big] = - \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = - \alpha(x)\]
Cette fonction est donc impaire. On voit que :
\[\sigma(x) + \alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x) + \varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = \frac{2}{2} \ \varphi(x) = \varphi(x)\]
On a donc la décomposition :
\[\varphi = \sigma + \alpha\]
où \(\sigma\) est paire et \(\alpha\) impaire. On dit que \(\sigma\) est la composante paire de \(\varphi\) et que \(\alpha\) est la composante impaire de $ϕ$·