Eclats de vers : Matemat : Ordre inclusif
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:ordreInclusif}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
- Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema
2. Ordre sur les ensembles
Soit l'ensemble \(\Omega\) et l'ensemble de ses sous-ensembles :
\[\sousens(\Omega) = \{ A : A \subseteq \Omega \}\]
On dit que \(A \in \sousens(\Omega)\) est plus petit ou égal à \(B \in \sousens(\Omega)\) au sens de l'ordre inclusif si et seulement si :
\[A \subseteq B\]
On voit qu'il s'agit d'un ordre partiel.
2.1. Attention
Ne pas confondre l'ordre inclusif \(\subseteq\) avec la comparaison d'ensembles \(\ensinferieur\) qui est elle basée sur l'ordre entre les éléments des ensembles concernés.
3. Extrema inclusifs d'une collection
Soit l'ensemble de paramètres \(X\) et la collection paramétrée :
\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]
3.1. Majorant
Si on veut qu'un ensemble quelconque \(M \subseteq \Omega\) soit un majorant inclusif de \(\mathcal{C}\), il faut que \(A(x) \subseteq M\) pour tout \(x \in X\). Pour cela, il faut et il suffit que \(M\) contienne tous les \(A(x)\). Autrement dit, il faut et il suffit que \(M\) contienne l'union des ensembles-éléments de la collection. On a donc :
\[\major_\subseteq \mathcal{C} = \left\{ M \in \sousens(\Omega) : \bigcup_{x \in X} A(x) \subseteq M \right\}\]
3.2. Supremum
Etudions l'ensemble :
\[S = \bigcup_{x \in X} A(x) \in \sousens(\Omega)\]
Comme :
\[\bigcup_{x \in X} A(x) \subseteq S\]
on a :
\[S \in \major_\subseteq \mathcal{C}\]
On voit aussi que \(S \subseteq M\) pour tout \(M \in \major_\subseteq \mathcal{C}\). On en déduit que :
\[S = \min_\subseteq \major_\subseteq \mathcal{C} = \sup_\subseteq \mathcal{C}\]
3.3. Minorant
Si on veut qu'un ensemble quelconque \(L \subseteq \Omega\) soit un minorant inclusif de \(\mathcal{C}\), il faut que \(L \subseteq A(x)\) pour tout \(x \in X\). Pour cela, il faut et il suffit que \(L\) soit contenu dans tous les \(A(x)\). Autrement dit, il faut et il suffit que \(L\) soit contenu dans l'intersection des ensembles-éléments de la collection. On a donc :
\[\minor_\subseteq \mathcal{C} = \left\{ L \in \sousens(\Omega) : L \subseteq \bigcap_{x \in X} A(x) \right\}\]
3.4. Infimum
Etudions l'ensemble :
\[I = \bigcap_{x \in X} A(x) \in \sousens(\Omega)\]
Comme :
\[I \subseteq \bigcap_{x \in X} A(x)\]
on a :
\[I \in \minor_\subseteq \mathcal{C}\]
On voit aussi que \(L \subseteq I\) pour tout \(L \in \minor_\subseteq \mathcal{C}\). On en déduit que :
\[I = \max_\subseteq \minor_\subseteq \mathcal{C} = \inf_\subseteq \mathcal{C}\]
3.5. Conclusion
Le supremum inclusif d'une collection de sous-ensembles de \(\Omega\) existe toujours dans \(\sousens(\Omega)\) et est égal à l'union de tous ces ensembles :
\[\sup_\subseteq \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \} = \bigcup_{x \in X} A(x)\]
L'infimum inclusif d'une collection de sous-ensembles de \(\Omega\) existe toujours dans \(\sousens(\Omega)\) et est égal à l'intersection de tous ces ensembles :
\[\inf_\subseteq \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \} = \bigcap_{x \in X} A(x)\]