Eclats de vers : Matemat : Opérations
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:operations}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:fonctions} : Les fonctions
2. Introduction
Soit un ensemble \(\Omega\). Une opération \(\opera\) sur \(\Omega\), ou loi de composition interne sur \(\Omega\), est une fonction qui, à deux éléments de \(\Omega\), associe un troisième élément de \(\Omega\) appelé résultat. On a donc formellement :
\[\opera : \Omega \times \Omega \mapsto \Omega\]
Si \(z \in \Omega\) est le résultat de l'opération \(\opera\) sur \(x,y \in \Omega\), on le note :
\[z = x \opera y\]
3. Neutre
3.1. À gauche
On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre à gauche pour la loi \(\opera\) si :
\[n \opera x = x\]
pour tout \(x \in \Omega\).
3.2. À droite
On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre à droite pour la loi \(\opera\) si :
\[x \opera n = x\]
pour tout \(x \in \Omega\).
3.3. Simultané
On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre pour la loi \(\opera\) si :
\[x \opera n = n \opera x = x\]
pour tout \(x \in \Omega\).
3.4. Unicité
Si \(m,n \in \Omega\) sont des éléments neutres pour \(\opera\), on a :
\[m = m \opera n = n\]
Si un neutre existe, il est unique.
4. Inverse
Supposons que \(n \in \Omega\) soit l'unique neutre pour la loi \(\opera\).
4.1. À gauche
On dit qu'un élément \(y \in \Omega\) est un inverse à gauche de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :
\[y \opera x = n\]
4.2. À droite
On dit qu'un élément \(y \in \Omega\) est un inverse à droite de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :
\[x \opera y = n\]
4.3. Simultané
On dit qu'un élément \(x^\inverse \in \Omega\) est l'inverse de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :
\[x \opera x^\inverse = x^\inverse \opera x = n\]
5. Associativité
On dit que \(\opera\) est associative si :
\[(x \opera y) \opera z = x \opera (y \opera z)\]
pour tout \(x,y,z \in \Omega\). On définit alors :
\[x \opera y \opera z = x \opera (y \opera z) = (x \opera y) \opera z\]
5.1. Extension
Soit \(x_1,x_2,...,x_n \in \Omega\). On définit
5.2. Unicité de l'inverse
On suppose que \(\opera\) admet \(n\) comme neutre. Soit \(x \in \Omega\) et \(y,z \in \Omega\) deux inverses de \(x\). On a :
\[y \opera x \opera z = y \opera (x \opera z) = y \opera n = y\]
et :
\[y \opera x \opera z = (y \opera x) \opera z = n \opera z = z\]
On a donc :
\[y = z\]
Dans le cadre d'une opération associative, l'inverse d'un élément donné est unique.
6. Commutativité
On dit que \(\opera\) est commutative si :
\[x \opera y = y \opera x\]
pour tout \(x,y \in \Omega\).
7. Distributivité
Soit \(\autreaddition, \autremultiplication\) deux lois de composition interne sur \(\Omega\). On dit que \(\autremultiplication\) se distribue sur \(\autreaddition\) si :
\[z \autremultiplication (x \autreaddition y) = (z \autremultiplication x) \autreaddition (z \autremultiplication y)\]
et :
\[(x \autreaddition y) \autremultiplication z = (x \autremultiplication z) \autreaddition (y \autremultiplication z)\]
pour tout \(x,y,z \in \Omega\).
8. Opération induite
Soit une opération \(\opera\) définie sur l'ensemble \(\Omega\). L'opération induite par \(\opera\) sur \(\Omega^n\) est définie par :
\[(x_1,x_2,...,x_n) \opera (y_1,y_2,...,y_n) = (x_1 \opera y_1, x_2 \opera y_2, ..., x_n \opera y_n)\]
pour tout :
\[(x_1,x_2,...,x_n), (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]
On note aussi :
\[z = x \opera y\]
pour :
\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \Omega^n\]
\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]
et :
\[z = (z_1,z_2,...,z_n) \in \Omega^n\]
avec :
\[z_i = x_i \opera y_i\]
pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).