Eclats de vers : Matemat : Opérations sur les matrices
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:matrices}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
2. Multiplication d’une matrice et d’un vecteur
Soit une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) représentant une fonction linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\). On définit le produit matrice - vecteur pour que :
\[ A \cdot u = \mathcal{A}(u) \]
pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^n\). Si :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
on a par définition :
\[ \mathcal{A}_i(u) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot u_j \]
où \(\mathcal{A}_i\) est la \(i^{ème}\) composante de \(\mathcal{A}\). Comme \(u\) est un vecteur colonne, on impose que le résultat de \(A \cdot u\) soit également un vecteur colonne. La définition du produit matrice-vecteur est dès lors immédiate :
\[ A \cdot u = \left[ \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot u_j \right]_i \]
3. Addition
Soit les fonctions linéaires \(\mathcal{A},\mathcal{B} : \corps^n \mapsto \corps^m\) respectivement représentées par les matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\). On définit l’addition matricielle \(A + B\) pour qu’elle représente la fonction \(\mathcal{A} + \mathcal{B}\). On a donc :
\[ (A + B) \cdot u = (\mathcal{A} + \mathcal{B})(u) = \mathcal{A}(u) + \mathcal{B}(u) \]
pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\). Par définition du produit matrice-vecteur :
\[ (A + B) \cdot u = \mathcal{A}(u) + \mathcal{B}(u) = A \cdot u + B \cdot u \]
En terme de composantes, si :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
\[ B = (b_{ij})_{i,j} \]
\[ u = (u_i)_i \]
on a :
\begin{align*} (A + B) \cdot u &= A \cdot u + B \cdot u \\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot u_j + \sum_{j=1}^n b_{ij} \cdot u_j \\ &= \sum_{j=1}^n \left[ a_{ij} + b_{ij} \right] \cdot u_j \end{align*}La dernière ligne représente le produit d’une matrice \(C\in\matrice(\corps,m,p)\) de composantes :
\[ \composante_{ij} C = a_{ij} + b_{ij} \]
par \(u\) :
\[ (A + B) \cdot u = C \cdot u \]
Ce résultat étant valable pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\), on en déduit que \(C\) est identique à \(A + B\), ce qui nous donne :
\[A + B = \left[ a_{ij} + b_{ij} \right]_{i,j}\]
3.1. Neutre
La matrice nulle \(0\) est le neutre pour cette opération :
\[A + 0 = A\]
On en déduit que tous ses éléments doivent être nuls :
\[0 = ( 0 )_{i,j}\]
On note \(0_{m,n}\) au lieu de \(0\) lorsqu'on veut préciser que \(0\) est de taille \((m,n)\).
3.2. Opposé
L'opposé de \(A\), noté \(-A\), est tel que :
\[A + (-A) = 0\]
On a donc clairement :
\[-A = (-a_{ij})_{i,j}\]
4. Soustraction
Soit les fonctions linéaires \(\mathcal{A},\mathcal{B} : \corps^n \mapsto \corps^m\) respectivement représentées par les matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\). On définit la soustraction matricielle \(A - B\) par :
\[ A - B = A + (-B) \]
On a clairement :
\[A - B = \left[ a_{ij} - b_{ij} \right]_{i,j}\]
5. Multiplication mixte
Soit un scalaire \(\alpha \in \corps\) et la fonction linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\) représentée par la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\). On définit la multiplication mixte \(\alpha \cdot A\) pour qu’elle représente la fonction \(\alpha \cdot \mathcal{A}\). On a donc :
\[ (\alpha \cdot A) \cdot u = (\alpha \cdot \mathcal{A})(u) = \alpha \cdot \mathcal{A}(u) \]
pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\). Par définition du produit matrice-vecteur :
\[ (\alpha \cdot A) \cdot u = \alpha \cdot \mathcal{A}(u) = \alpha \cdot (A \cdot u) \]
En terme de composantes, si :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
\[ u = (u_i)_i \]
on a :
\begin{align*} (\alpha \cdot A) \cdot u &= \alpha \cdot (A \cdot u) \\ &= \alpha \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot u_j \\ &= \sum_{j=1}^n \left[ \alpha \cdot a_{ij} \right] \cdot u_j \end{align*}La dernière ligne représente le produit d’une matrice \(C\in\matrice(\corps,m,p)\) de composantes :
\[ \composante_{ij} C = \alpha \cdot a_{ij} \]
par \(u\) :
\[ (\alpha \cdot A) \cdot u = C \cdot u \]
Ce résultat étant valable pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\), on en déduit que \(C\) est identique à \(\alpha \cdot A\), ce qui nous donne :
\[\alpha \cdot A = \left[ \alpha \cdot a_{ij} \right]_{i,j}\]
Choissons également \(\gamma \in \corps\). On note comme d'habitude :
\( A \cdot \beta = \beta \cdot A \)
\( \gamma \cdot \beta \cdot A = (\gamma \cdot \beta) \cdot A \)
\( \beta A = \beta \cdot A \)
6. Produit matriciel
6.1. Introduction
Soit les fonctions linéaires \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\) et \(\mathcal{B} : \corps^p \mapsto \corps^n\) respectivement représentées par les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\). On définit le produit matriciel \(A \cdot B\) pour qu’il représente la fonction \(\mathcal{A} \circ \mathcal{B}\). On a donc :
\[ (A \cdot B) \cdot u = (\mathcal{A} \circ \mathcal{B})(u) = \mathcal{A}\left(\mathcal{B}(u)\right) \]
pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\). Par définition du produit matrice-vecteur :
\[ (A \cdot B) \cdot u = \mathcal{A}\left(\mathcal{B}(u)\right) = A \cdot (B \cdot u) \]
En terme de composantes, si :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
\[ B = (b_{ij})_{i,j} \]
\[ u = (u_i)_i \]
on a :
\begin{align*} (A \cdot B) \cdot u &= A \cdot (B \cdot u) \\ &= \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (B \cdot u)_k = \sum_{k=1}^n a_{ik} \sum_{j=1}^p b_{kj} \cdot u_j \\ &= \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^p a_{ik} \cdot b_{kj} \cdot u_j \\ &= \sum_{j=1}^p \left[ \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \right] \cdot u_j \end{align*}La dernière ligne représente le produit d’une matrice \(C\in\matrice(\corps,m,p)\) de composantes :
\[ \composante_{ij} C = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \]
par \(u\) :
\[ (A \cdot B) \cdot u = C \cdot u \]
Ce résultat étant valable pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^p\), on en déduit que \(C\) est identique à \(A \cdot B\), ce qui nous donne :
\[A \cdot B = \left[\sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}\right]_{i,j}\]
Le produit d'une matrice de taille \((m,n)\) par une matrice de taille \((n,p)\) est une matrice de taille \((m,p)\). Pour que ce produit soit bien défini, il est nécessaire que le nombre de colonnes \(n\) de \(A\) et le nombre de lignes de \(B\) soient identiques.
6.2. Notation
En pratique, on laisse souvent tomber le ``\(\cdot\)'' et on note \(A B\) au lieu de \(A \cdot B\) lorsqu'il est évident que \(A\) et \(B\) sont deux matrices différentes.
6.3. Propriétés
6.3.1. Associativité
Soit les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\), \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) et \(C \in \matrice(\corps,p,q)\) définies par :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
\[ B = ( b_{ij} )_{i,j} \]
\[ C = ( c_{ij} )_{i,j} \]
La relation :
\[A \cdot (B \cdot C) = \left[ \sum_{k,l} a_{ik} \cdot b_{kl} \cdot c_{lj} \right]_{i,j} = (A \cdot B) \cdot C\]
nous montre que la multiplication entre matrices est associative. On définit :
\[A \cdot B \cdot C = A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C\]
6.3.2. Non commutativité
Par contre, on peut trouver des matrices \(A\) et \(B\) telles que :
\[A \cdot B \ne B \cdot A\]
La multiplication matricielle n'est donc en général pas commutative. D'ailleurs, pour que ces deux produits existent simultanément, il faut que \(A\) et \(B\) soient toutes deux carrées, ce qui n'est pas forcément le cas.
6.4. Commutateur
La matrice associée au commutateur des fonctions linéaires :
\[[\mathcal{A},\mathcal{B}] = \mathcal{A} \circ \mathcal{B} - \mathcal{B} \circ \mathcal{A}\]
est donnée par le commutateur matriciel équivalent :
\[[A,B] = A \cdot B - B \cdot A\]
6.5. Transposée d’un produit
Soit les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) définies par :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
\[ B = ( b_{ij} )_{i,j} \]
On a :
\[ A \cdot B = \left[\sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}\right]_{i,j} \]
La transposée du produit s’écrit :
\[ (A \cdot B)^T = \left[\sum_{k=1}^n a_{jk} \cdot b_{ki}\right]_{i,j} \]
On a aussi :
\[ B^T \cdot A^T = \left[\sum_{k=1}^n b_{ki} \cdot a_{jk}\right]_{i,j} = \left[\sum_{k=1}^n a_{jk} \cdot b_{ki}\right]_{i,j} \]
On en conclut que :
\[(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T\]
6.6. Produit entre vecteurs
6.6.1. Produit scalaire usuel
Soit les vecteurs colonne \(u,v \in \corps^n\) définis par :
\[ u = (u_i)_i \]
\[ v = (v_i)_i \]
On peut considérer que \(u\) et \(v\) sont aussi des matrices de taille \((n,1)\) et calculer le produit du vecteur ligne \(u^T\) par le vecteur colonne \(v\). On obtient une matrice de taille \((1,1)\), c’est-à-dire un scalaire :
\[ u^T \cdot v = \sum_{i=1}^n u_i \cdot v_i \]
Un produit scalaire générique est souvent noté :
\[ \scalaire{u}{v} \]
6.6.1.1. Réel
Lorsque \(\corps = \setR\), ce produit est appalé produit scalaire usuel sur \(\setR^n\). On le note :
\[ \scalaire{u}{v} = u^T \cdot v \]
On remarque le produit scalaire usuel d’un vecteur colonne réel avec lui-même est positif ou nul :
\[ \scalaire{u}{u} = u^T \cdot u = \sum_{i=1}^n u_i^2 \ge 0 \]
6.6.1.2. Complexe
Lorsque \(\corps = \setC\), on utilise le produit scalaire usuel sur \(\setC\) :
\[ \scalaire{u}{v} = \conjaccent{u^T} \cdot v \]
L’utilisation du complexe conjugué permet de garantir que le produit d’un vecteur colonne avec lui-même est un réel positif ou nul. En effet :
\[ \scalaire{u}{u} = \conjaccent{u^T} \cdot u = \sum_i \conjaccent{u_i} \cdot u_i = \sum_i \abs{u_i}^2 \]
et donc :
\[ \scalaire{u}{u} \in \setR \]
\[ \scalaire{u}{u} \ge 0 \]
6.6.2. Produit tensoriel
Soit les vecteurs colonne \(u \in \corps^m\) et \(v \in \corps^n\) définis par :
\[ u = (u_i)_i \]
\[ v = (v_i)_i \]
On peut considérer que \(u\) et \(v\) sont respectivement des matrices de taille \((m,1)\) et \((n,1)\), et calculer le produit du vecteur colonne \(u\) par le vecteur ligne \(v^T\). On obtient une matrice de taille \((m,n)\) :
\[ u \cdot v^T = (u_i \cdot v_j)_{i,j} \]
Un produit tensoriel générique est souvent noté :
\[ u \otimes v \]
6.6.2.1. Réel
Lorsque \(\corps = \setR\), ce produit est appalé produit tensoriel sur \(\setR^m \times \setR^n\). On le note :
\[ u \otimes v = u \cdot v^T \]
Si \(w \in \setR^n\) est un troisième vecteur colonne, on a :
\[ (u \otimes v) \cdot w = u \cdot v^T \cdot w = u \cdot (v^T \cdot w) \]
et finalement :
\[ (u \otimes v) \cdot w = u \cdot \scalaire{v}{w} \]
6.6.2.2. Complexe
Lorsque \(\corps = \setC\), on utilise une variante avec complexe conjugué :
\[ u \otimes v = u \cdot \conjaccent{v^T} \]
afin de conserver la propriété :
\[ (u \otimes v) \cdot w = u \cdot \scalaire{v}{w} \]
En effet, si \(w \in \setC^n\) est un troisième vecteur colonne, on a :
\[ (u \otimes v) \cdot w = u \cdot \conjaccent{v^T} \cdot w = u \cdot (\conjaccent{v^T} \cdot w) \]
et finalement :
\[ (u \otimes v) \cdot w = u \cdot \scalaire{v}{w} \]
6.7. Lignes et colonnes
Soit les matrices :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
\[ B = (b_{ij})_{i,j} \]
On a :
\[ \composante_{ij} (A \cdot B) = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \]
Si :
\[ l_i = \ligne_i(A) = (a_{ij})_j \]
\[ c_j = \colonne_j(B) = (a_{ij})_i \]
L’expression de la composante \(i,j\) de \(A \cdot B\) peut se réécrire :
\[\composante_{ij} (A \cdot B) = l_i \cdot c_j\]
6.8. Produit matriciel et blocs
En utilisant l'associativité de l'addition, on peut facilement vérifier que la formule de multiplication reste valable lorsqu'on considère des blocs de matrices au lieu des éléments, à condition de respecter l'ordre de multiplication.
Par exemple, si :
\[ A = \begin{Matrix}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{Matrix} \]
\[ B = \begin{Matrix}{cc} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{Matrix} \]
on a :
\[ A \cdot B = \begin{Matrix}{cc} A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21} & A_{11} \cdot B_{12} + A_{12} \cdot B_{22} \\ A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21} & A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} \end{Matrix} \]
6.8.1. Bloc-diagonale
Un cas particulier important, si :
\[ A = \begin{Matrix}{cc} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{Matrix} \]
\[ B = \begin{Matrix}{cc} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{Matrix} \]
on a :
\[ A \cdot B = \begin{Matrix}{cc} A_1 \cdot B_1 & 0 \\ 0 & A_2 \cdot B_2 \end{Matrix} \]
7. Distributivité
Soit les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\), \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) et \(C \in \matrice(\corps,n,p)\) et \(D \in \matrice(\corps,p,q)\) définies par :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
\[ B = ( b_{ij} )_{i,j} \]
\[ C = ( c_{ij} )_{i,j} \]
\[ D = ( d_{ij} )_{i,j} \]
La relation :
\begin{align*} A \cdot (B + C) &= \left[ \sum_k a_{ik} \cdot (b_{kj} + c_{kj}) \right]_{i,j} \\ &= \left[ \sum_k a_{ik} \cdot b_{kj} \right]_{i,j} + \left[ \sum_k a_{ik} \cdot c_{kj} \right]_{i,j} \\ &= A \cdot B + A \cdot C \end{align*}nous montre que :
\[ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \]
La relation :
\begin{align*} (B + C) \cdot D &= \left[ \sum_k (b_{ik} + c_{ik}) \cdot d_{kj} \right]_{i,j} \\ &= \left[ \sum_k b_{ik} \cdot d_{kj} \right]_{i,j} + \left[ \sum_k c_{ik} \cdot d_{kj} \right]_{i,j} \\ &= B \cdot D + C \cdot D \end{align*}nous montre que :
\[ (B + C) \cdot D = B \cdot D + C \cdot D \]
On en déduit que la multiplication matricielle se distribue sur l’addition matricielle.
8. Matrice identité
La matrice identité \(I \in \matrice(\corps,n,n)\) correspond à la fonction \(\identite\). On a donc :
\[I \cdot u = u\]
pour tout \(u \in \corps^n\). Si \((\canonique_1,...\canonique_n)\) est la base canonique de \(\corps^n\) sous la forme de vecteurs colonnes, on a donc :
\[I \cdot \canonique_i = \canonique_i\]
ce qui entraîne directement :
\[I = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]
On remarque que :
\[I = [\canonique_1 \ \ \ldots \ \ \canonique_n]\]
8.1. Neutre
Comme la fonction identité est neutre pour la composition, la matrice unité correspondante doit être neutre pour la multiplication avec toutes les matrices de dimensions compatibles. Soit \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) définie par :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \]
Si \(I_n \in \matrice(\corps,n,n)\), on vérifie que l'on a bien :
\[ A \cdot I_n = \left[ \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot \indicatrice_{kj} \right]_{i,j} = \left[ a_{ij} \right]_{i,j} \]
c’est-à-dire :
\[ A \cdot I_n = A \]
Si \(I_m \in \matrice(\corps,m,m)\), on vérifie que l'on a bien :
\[ I_m \cdot A = \left[ \sum_{k=1}^m \indicatrice_{ik} \cdot a_{kj} \right]_{i,j} = \left[ a_{ij} \right]_{i,j} \]
c’est-à-dire :
\[ I_m \cdot A = A \]
8.2. Notation
On note aussi \(I_n\) pour préciser que \(I\) est de taille \((n,n)\).
9. Inverse
9.1. Inverse à gauche et à droite
On dit que \(L\) est un inverse à gauche de \(A\) si :
\[ L \cdot A = I \]
On dit que \(R\) est un inverse à droite de \(A\) si :
\[ A \cdot R = I \]
9.2. Simultané
Si \(A \in \matrice(\corps,n,n)\) possède à la fois un inverse \(L\) à gauche et in un inverse \(R\) à droite, on a :
\[ L = L \cdot I = L \cdot (A \cdot R) = (L \cdot A) \cdot R = I \cdot R = R \]
On a donc :
\[ L = R \]
La matrice inverse est donc unique et on la note \(A^{-1}\). Elle est donc l'unique matrice telle que :
\[A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = I\]
9.3. Fonction inverse
Soit la fonction linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\) représentée par la matrice \(A \in \matrice(\corps,n,n)\), qui possède un inverse \(A^{-1}\). Si \(\mathcal{B}\) est la fonction linéaire représentée par \(A^{-1}\), on a :
\[ \mathcal{B}(\mathcal{A}(u)) = A^{-1} \cdot A \cdot u = I \cdot u = u \]
\[ \mathcal{A}(\mathcal{B}(u)) = A \cdot A^{-1} \cdot u = I \cdot u = u \]
pour tout vecteur colonne \(u \in \corps^n\), ce qui implique :
\[ \mathcal{B} = \mathcal{A}^{-1} \]
La matrice inverse \(A^{-1}\) représente la fonction linéaire inverse \(\mathcal{A}^{-1}\).
9.4. Inverse d'un produit
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles. Supposons que leur produit \(A \cdot B\) possède un inverse à gauche \(L\) et un inverse à droite \(R\). La relation :
\[ L \cdot (A \cdot B) = L \cdot A \cdot B = I \]
nous donne :
\[ L \cdot A = I \cdot B^{-1} = B^{-1} \]
\[ L = B^{-1} \cdot A^{-1} \]
La relation :
\[ (A \cdot B) \cdot R = A \cdot B \cdot R = I \]
nous donne :
\[ B \cdot R = A^{-1} \cdot I = A^{-1} \]
\[ R = B^{-1} \cdot A^{-1} \]
On a donc :
\[ L = R = B^{-1} \cdot A^{-1} \]
L’inverse de \(A \cdot B\) existe et est donné par :
\[(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\]
10. Puissance
Il est possible de multiplier une matrice carrée \(A\) avec elle-même. On peut donc définir la puissance par :
\begin{align*} A^0 &= I \\ A^k &= A \cdot A^{k-1} \end{align*}10.1. Puissance négative
Si l'inverse \(A^{-1}\) existe, on définit également :
\[A^{-k} = (A^{-1})^k\]