Eclats de vers : Matemat : Collections
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:ondelet}
1. Introduction
Les ondelettes constitue un outil d'analyse de signal puissant. L'idée est de décomposer une fonction en différentes échelles, des échelles grossières jusqu'à des résolution très fines. Contrairement aux séries de Fourier, elles ont une influence locale et des relations simples entres les différentes échelles représentées, ce qui permet de passer rapidement (en \(\mathcal{O}(N)\)) d'une représentation à une autre.
Elles sont fort utilisées en compression de donnée (son, image, …) où les coefficients les plus négligeables sont ignorés.
AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE
Le plus simple est de commencer avec un exemple célèbre : les ondelettes de Haar :
\( \varphi(x) = \indicatrice_{[0,1[}(x) \)
\( \psi(x) = \indicatrice_{[0,1/2[}(x) - \indicatrice_{[1/2,1[}(x) \)
La fonction \(\varphi\) est appelée fonction d'échelle, tandis que \(\psi\) est l'ondelette proprement dite. La propriété principale d'un système d'ondelette est qu'il permet facilement de changer d'échelle. Ainsi, on a :
\( \varphi(x) = \varphi(2x) + \varphi(2x-1) = a_0^0 \varphi(2x) + a_1^0 \varphi(2x-1) \)
\( \psi(x) = \varphi(2x) - \varphi(2x-1) = a_0^1 \varphi(2x) + a_1^1 \varphi(2x-1) \)
où l'on a posé \(a_0^0 = 1\), \(a_1^0 = 1\), \(a_0^1 = 1\), \(a_1^1 = -1\). En inversant les deux relations ci-dessus, on arrive à :
\( \varphi(2x) = \frac{1}{2} ( \varphi(x) + \psi(x) ) \)
\( \varphi(2x-1) = \frac{1}{2} ( \varphi(x) - \psi(x) ) \)
Les deux représentations ci-dessous sont donc équivalentes :
\( f(x) = f_1 \varphi(2x) + f_2 \varphi(2x-1) \)
\( f(x) = \frac{f_1+f_2}{2} \varphi(x) + \frac{f_1 - f_2}{2} \psi(x) \)
La différence est que l'on représente \(f\) tantôt comme une somme de fonctions de base de même échelle, tantôt comme une superposition d'échelles différentes. En effet, $ϕ(2x), ϕ(2x-1),ψ(x) $ représentent l'échelle fine \(1/2\), tandis que \(\varphi(x)\) représente l'échelle grossière \(1\) (un petit dessin peut aider).
Une autre propriété importante est que le support des fonctions \(\varphi\) et \(\psi\) est borné, et donc la fonction \(\varphi_{jk} : x \mapsto \varphi( 2^j x - k )\) à un support \(S_j\) de plus en plus fin lorsque \(j\) augmente. On dit que les ondelettes ont une influence locale.
2. Définition
Nous allons construire un système d'ondelettes générique à partir des coefficients :
\[a_k^i \quad : \quad i = 0,1,...,m-1 \qquad k, m \in \setZ, m > 1\]
Adoptant la convention \(\sum_k = \sum_{k \in \setZ}\), nous demandons que ces coefficients vérifient les propriétés de normalisation :
\( \sum_k a^0_{p+m k} = 1 \)
\( \sum_k a_k^i = m \indicatrice_{i,0} \)
et d'orthogonalisation suivantes :
\( \sum_k a_{k + m r}^i a_{k + m s}^j = m \indicatrice_{ij} \indicatrice_{rs} \)
\( \sum_k\sum_{i=0}^{m-1} a^i_{r+m k} a^i_{s+m k} = m \indicatrice_{rs} \)
Par ailleurs, afin d'assurer le caractère compact des fonctions associées, on impose la nullité des coefficients en dehors d'un certain domaine :
\( a^i_k = 0 \qquad \forall k \notin \{0,1,2,.... m g - 1 \} \)
où \(g > 0\) est un entier fixé.
Nous allons voir dans la suite que ces propriétés permettent de montrer d'importants résultats sur le comportement des ondelettes associées. Remarquons déjà les conséquences directes suivantes :
\( \sum_k a^0_{p-m k} = 1 \)
\( \sum_k\sum_{i=0}^{m-1} a^i_{r-m.k} a^i_{s-m.k} = m \indicatrice_{rs} \)
\( \)
Dans la suite, nous utilisons le produit scalaire :
\[\scalaire{u}{v} = \int_{\setR} u(x) v(x) dx\]
3. Construction
La fonction d'échelle s'obtient en partant de :
\[\varphi^{(0)}(x) = \indicatrice_{[0,1[}(x)\]
et en itérant :
\[\varphi^{(n)}(x) = \sum_k a_k^0 \varphi^{(n-1)}(m x - k)\]
Supposant que l'algorithme converge vers un point fixe (voir chapitre \ref{chap:ode}), on définit la fonction d'échelle :
\[\varphi = \lim_{n\rightarrow\infty} \varphi^{(n)}\]
Qui possède la propriété :
\[\varphi(x) = \sum_k a_k^0 \varphi(m x - k)\]
Le système d'ondelettes est définit finalement par :
\( \varphi(x) = \sum_k a_k^0 \varphi(m x - k) \)
\( \psi^i(x) = \sum_k a_k^i \varphi(m x - k) \)
4. Propriétés
Les propriétés des \(a^i_k\) permettent de montrer, par récurrence sur \(n\), que :
\( \int_{\setR} \varphi(x) dx = 1 \)
\( \int_{\setR} \psi^i(x) dx = 0 \)
En effet, on a \(\int_{\setR} \varphi^{(0)} = 1\) et si on suppose que \(\int_{\setR} \varphi^{(n-1)} = 1\) alors :
\( \int_{\setR} \varphi^{(n)}(x) dx = \sum_k a_k^0 \int_{\setR} \varphi^{(n-1)}(m x - k) dx \)
\( \int_{\setR} \varphi^{(n)}(x) dx = \left( \sum_k a_k^0 \right) \frac{1}{m} \int_{\setR} \varphi^{(n-1)}(\xi) d\xi = 1 \)
Par ailleurs on a :
\( \int_{\setR} \psi^i(x) dx = \sum_k a_k^i \int_{\setR} \varphi(m x - k) dx \)
\( \int_{\setR} \psi^i(x) dx = \left( \sum_k a_k^i \right) \frac{1}{m} \int_{\setR} \varphi(\xi) d\xi = 0 \)
On peut aussi montrer par récurrence :
\[\support(\varphi) \subseteq \left[0, 1 + (g-1) \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{m} \right)^k \right] = \left[0, 1 + (g-1) \frac{m}{m-1} \right]\]
Le support de \(\varphi\) est donc bien borné.
Une autre propriété importante qui va nous permettre de prouver la convergence des développements en ondelettes est la partition de l'unité :
\[\sum_k \varphi(x-k) = 1 \qquad \forall x \in \setR\]
En effet, il est clair que \(\sum_k \varphi^{(0)}(x-k) = 1\). Partant de l'hypothèse de récurrence \(\sum_k \varphi^{(n-1)}(x-k) = 1\), on obtient :
\( \sum_k \varphi^{(n)}(x-k) = \sum_k\sum_l a^0_l \varphi^{(n-1)}\left( m (x - k) - l \right) \)
\( \sum_k \varphi^{(n)}(x-k) = \sum_l\sum_k a^0_l \varphi^{(n-1)}(m x - m k - l) \)
Posant \(p = m k + l\), cette dernière équation devient :
\[\sum_k \varphi^{(n)}(x-k) = \sum_p \varphi^{(n-1)}(m x - p) \sum_k a^0_{p - m k}\]
Mais comme $ ∑k a0p - m k = 1$ quel que soit la valeur de \(p\), on en déduit que :
\[\sum_k \varphi^{(n)}(x-k) = \sum_p \varphi^{(n-1)}(m x - p) = 1\]
et la propriété de partition de l'unité est démontréé en passant à la limite :
\[\sum_k \varphi(x-k) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_k \varphi^{(n)}(x-k) = 1\]
5. Niveaux
On définit la fonction d'échelle et les ondelettes du niveau \(j \in \setN\) comme étant les dilatations translatées des fonctions \(\varphi,\psi^i\) :
\( \varphi_{jk}(x) = m^{j/2} \varphi(m^j x - k) \)
\( \psi^i_{jk}(x) = m^{j/2} \psi^i(m^j x - k) \)
Le coefficient \(m^{j/2}\) permet d'obtenir les normalisations : \(\scalaire{\varphi_{jk} }{\varphi_{jk} } = 1\) et \(\scalaire{\psi^i_{jk} }{\psi^i_{jk} } = 1\)
La définition du système d'ondelettes permet d'obtenir les relations suivantes entres échelles voisines :
\( \varphi_{jk} = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_l a^0_l \varphi_{j+1,m k + l} = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_p a^0_{p - m k} \varphi_{j+1,p}\)
\( \psi^i_{jk} = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_l a^i_l \varphi_{j+1,m k + l} = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_p a^i_{p - m k} \varphi_{j+1,p}\)
\( \)
6. Développement en série et algorithme de Mallat
6.1. Convergence
Commençons par remarquer que :
\[\sup_{\xi\in\setR} \varphi_{jk}(\xi) = m^{j/2} \sup_{\xi\in\setR} \varphi(\xi) = m^{j/2} M\]
où \(M\) ne dépend pas de \(j\).
Soit la mesure de Lebesgue \(\mu\) définie par :
\[\mu([a,b]) = \abs{b-a}\]
On a alors :
\[\mu(\support(\varphi_{jk})) = m^{-j} \mu(\support(\varphi)) = m^{-j} \indicatrice_0\]
où \(\indicatrice_0\) de dépend pas de \(j\). Le support des fonctions \(\varphi_{jk}\) est donc de plus en plus fin lorsque \(j\) augmente.
Nous définissons la famille d'ensembles :
\[K_j(x) = \{ k \in \setZ : \varphi_{jk}(x) \ne 0 \}\]
où \(x \in \setR\). On obtient, à partir des propriétés du support de \(\varphi\), que :
\[m^j x - k \in \suppport(\varphi) \Rightarrow m^j x - 2 g \le k \le m^j x\]
pour tout \(k\in K_j(x)\). On a donc :
\[\# K_j(x) \le 2 g\]
Pour un réel \(x\) fixé, le nombre de \(\varphi_{jk}(x)\) non nuls est donc borné, et ce quelle que soit la valeur de \(j \in \setN\).
Choisissons \(x,y \in \suppport(\varphi_{jk})\). On a alors :
\[\abs{x-y} \le \indicatrice_0 m^{-j}\]
et par continuité de \(f\) :
\[\abs{f(x)-f(y)} \le \epsilon_j\]
avec :
\[\lim_{j \rightarrow +\infty} \epsilon_j = 0\]
Utilisant un simple changement de variable \(\xi = m^j y - k\), on obtient :
\( \int_{\setR} \varphi_{jk}(y) dy = \int_{\setR} m^{j/2} \varphi\left( m^j y - k \right) dy \)
\( \int_{\setR} \varphi_{jk}(y) dy = \int_{\setR} m^{j/2} \varphi(\xi) m^{-j} d\xi \)
\( \int_{\setR} \varphi_{jk}(y) dy = m^{-j/2} \int_{\setR} \varphi(\xi) d\xi = m^{-j/2} \)
Comme \(m^j x \in \setR\), on a aussi :
\[\sum_k \varphi_{jk}(x) = m^{j/2} \sum_k \varphi( m^j x - k ) = m^{j/2}\]
Donc :
\( \sum_k \varphi_{jk}(x) \int_{\setR} \varphi_{jk}(y) dy = m^{-j/2} \sum_k \varphi_{jk}(x) \)
\( \sum_k \varphi_{jk}(x) \int_{\setR} \varphi_{jk}(y) dy = m^{-j/2} m^{j/2} = 1 \)
On en déduit en particulier que :
\[f(x) = \sum_k \varphi_{jk}(x) \int_{\setR} f(x) \varphi_{jk}(y) dy\]
On aimerait bien montrer que les fonctions échelles de niveau \(j\) quelconque forment un cadre (voir chapitre \ref{chap:tensor}), c'est-à-dire que :
\[f = \sum_k\scalaire{f}{\varphi_{jk}}\varphi_{jk}\]
Pour \(x\) fixé, seuls les \(k\) appartenant à \(K_j(x)\) vont donner une contribution non nulle à la somme :
\[\sum_k\scalaire{f}{\varphi_{jk}}\varphi_{jk}(x) = \sum_{k \in K_j(x) } \scalaire{f}{\varphi_{jk}}\varphi_{jk}(x)\]
Rassemblant tous les résultats ci-dessus, on en déduit que :
\( \abs{f(x) - \sum_k\scalaire{f}{\varphi_{jk}}\varphi_{jk}(x)} = \abs{\sum_{k \in K_j}\varphi_{jk}(x) \int_{\setR} \left( f(x) - f(y) \right) \varphi_{jk}(y) dy } \)
\( \abs{f(x) - \sum_k\scalaire{f}{\varphi_{jk}}\varphi_{jk}(x)} \le 2 g M m^{j/2} \epsilon_j \indicatrice_0 m^{-j} M m^{j/2} = 2 g M^2 \indicatrice_0 \epsilon_j \)
qui tend bien vers 0 lorsque \(j\) tend vers l'infini.
6.2. Algorithme de Mallat
Considérons à présent l'approximation suivante :
\[f(x) \approx \tilde{f}(x) = \sum_k c_{Rk} \varphi_{Rk}(x)\]
où \(c_{Rk} = \scalaire{f}{\varphi_{Rk}}\). Nous allons maintenant montrer par récurrence que pour tout \(J \le R\) :
\[\tilde{f}(x) = \sum_k c_{Jk} \varphi_{Jk}(x) + \sum_k \sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=J}^{R} d^i_{jk} \psi^i_{jk}(x)\]
où :
\( c_{jk} = \scalaire{ f }{ \varphi_{jk} } \)
\( d^i_{jk} = \scalaire{ f }{ \psi^i_{jk} } \)
Il suffit pour cela de constater que :
\( \sum_k c_{jk} \varphi_{jk} + \sum_k\sum_{i=1}^{m-1} d^i_{jk} \psi^i_{jk} = \sum_k \scalaire{ f }{ \varphi_{jk} } \varphi_{jk} + \sum_k\sum_{i=1}^{m-1} \scalaire{ f }{ \psi^i_{jk} } \psi^i_{jk} \)
\( = \frac{1}{m}\sum_{p,q}\sum_k \sum_{i=0}^{m-1} \scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } \varphi_{j+1,q} a^i_{p - m k} a^i_{q - m k} \)
\( = \sum_{p,q} \scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } \varphi_{j+1,q} \frac{1}{m} \sum_k \sum_{i=0}^{m-1} a^i_{p - m k} a^i_{q - m k} \)
\( = \sum_{p,q} \scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } \varphi_{j+1,q} \indicatrice_{pq} \)
\( = \sum_p \scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } \varphi_{j+1,p} \)
en utilisant les propriétés des \(a^i_k\). On peut donc construire le développement du niveau \(j+1\) à partir des fonctions d'échelles et des ondelettes du niveau \(j\). La définition des \(c_{jk}\), \(d^i_{jk}\) combinée aux équations reliant les échelles voisines nous donne :
\( c_{jk} = \scalaire{ f }{ \varphi_{jk} } = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_p\scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } a^0_{p - m k} \)
\( c_{jk} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_p c_{j+1,p} a^0_{p-m.k} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_l c_{j+1,l + m k} a^0_{l} \)
ainsi que :
\( d^i_{jk} = \scalaire{ f }{ \psi^i_{jk} } = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_p\scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } a^i_{p - m k} \)
\( d^i_{jk} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_p c_{j+1,p} a^i_{p - m k} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_l c_{j+1,l + m k} a^i_{l} \)
La relation inverse s'obtient à partir de :
\( \sum_p \scalaire{ f }{ \varphi_{j+1,p} } \varphi_{j+1,p} = \sum_k c_{jk} \varphi_{jk} + \sum_k\sum_{i=1}^{m-1} d^i_{jk} \psi^i_{jk} \)
\( ∑p cj+1,p ϕj+1,p = \frac{1}{\sqrt{m}}∑p ϕj+1,p \left[ ∑k cjk a0p - m k
- ∑k∑i=1m-1 dijk aip - m k \right] \)
\( \)
En comparant les coefficients des \(\varphi_{j+1,p}\), et comme cette équation doit être valable pour tout \(x\), on a :
\( c_{j+1,p} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_k c_{jk} a^0_{p-m.k} + \sum_k\sum_{i=1}^{m-1} d^i_{jk} a^i_{p - m k} \)
\( c_{j+1,p} = \frac{1}{\sqrt{m}}\sum_k c_{jk} a^0_{p-m.k} + \sum_k\sum_{i=1}^{m-1} d^i_{jk} a^i_{p - m k} \)
\( \)
On voit donc que pour passer d'une représentation mono-échelle
\[f(x) = \sum_k c_{Rk} \varphi_{Rk}(x)\]
à une représentation multi-échelle
\[f(x) = \sum_k c_{Jk} \varphi_{Jk}(x) + \sum_k \sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=J}^{R} d^i_{jk} \psi^i_{jk}(x)\]
(ou l'inverse) il suffit d'appliquer successivement les équations ci-dessus reliant entre-eux les coefficients \(c_{j+1,p}\), \(c_{jk}\), \(d^i_{jk}\), pour \(j = R-1,R-2,...,J\). En pratique, on approxime les coefficients du niveau de résolution maximal \(R\) par :
\[c_{Rk} \approx m^{R/2} f \left(\frac{k}{m^R}\right)\]
Lorsque \(f\) est assez régulière pour avoir la convergence :
\[f(x) = \lim_{R \to +\infty} \sum_k c_{Rk} \varphi_{Rk}(x)\]
on écrit :
\[f(x) = \sum_k c_{Jk} \varphi_{Jk}(x) + \sum_k \sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=J}^{+\infty} d^i_{jk} \psi^i_{jk}(x)\]