Eclats de vers : Matemat : Octogone régulier

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace les rayons de \(\mathscr{C}\) reliant le centre aux sommets de l’octogone, découpant ainsi la figure en huit triangles intérieurs :

Nous avons tenu compte du caractère isocèle des triangles intérieurs dans la notation des angles.

Dans les triangles \(O P_1 P_2\) et \(O P_2 P_3\) on a :

\[ \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} \]

car l’octogone est régulier et :

\[ \abs{O P_1} = \abs{O P_2} = r \]

\[ \abs{O P_2} = \abs{O P_3} = r \]

par définition du cercle circonscrit. Ces triangles ont leurs trois côtés de mêmes longueurs et sont donc isométriques. Un raisonnement analogue nous montre que tous les triangles intérieurs de l’octogone sont isométriques :

\[ O P_1 P_2 \qquad O P_2 P_3 \qquad O P_3 P_4 \qquad O P_4 P_5 \]

\[ O P_5 P_6 \qquad O P_6 P_7 \qquad O P_7 P_8 \qquad O P_8 P_1 \]

On a en particulier :

\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_8 \]

\[ \beta_1 = \beta_2 = \ldots = \beta_8 \]

Posons :

\[ \alpha = \alpha_1 \]

\[ \beta = \beta_1 \]

Les angles \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\), \(\alpha_8\) forment ensemble un tour complet :

\[ \sum_{i=1}^6 \alpha_i = 8 \ \alpha = 2 \ \pi \]

En isolant \(\alpha\), on obtient :

\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{8} = 45^\circ \]

La somme des angles dans le triangle \(O P_1 P_2\) nous donne :

\[ \alpha + 2 \ \beta = 45^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]

En isolant \(\beta\), on obtient :

\[ \beta = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ \]

Les triangles intérieurs ont donc les angles suivants :

\[ \alpha = 45^\circ \qquad \qquad \qquad \beta = 67.5^\circ \]

Les angles internes d’un octogone valent :

\[ 2 \ \beta = 135^\circ \]

Le schéma devient donc :

On a aussi les angles internes :

On remarque que :

\[ \abs{\angleflex{P_1 O P_5}} = 4 \ \alpha = 180^\circ \]

Les points \(O\), \(P_1\) et \(P_5\) sont alignés, ce qui signifie que \(O\) se situe sur la $3$-diagonale \([P_1, P_5]\). Cette diagonale est donc un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).

Un raisonnement similaire nous montre que le centre du cercle circonscrit est situé sur toutes les $3$-diagonales :

\[ [P_1, P_5] \qquad \qquad \qquad [P_2, P_6] \qquad \qquad \qquad [P_3, P_7] \qquad \qquad \qquad [P_4, P_8] \]

Ces $3$-diagonales sont donc aussi des diamètres du cercle.

Dans un octogone régulier :

• deux rayons qui aboutissent à deux sommets consécutifs forment un angle au centre de \(45^\circ\)
• l’angle formé par un côté et un rayon qui aboutit à une de ses extrémités a une amplitude de \(67.5^\circ\)
• l’angle interne a une amplitude de \(135^\circ\)
• les $3$-diagonales sont des diamètres

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Appliquons la loi des cosinus à la longueur \(c\) dans le triangle \(O P_1 P_2\) :

\[ c^2 = r^2 + r^2 - 2 \ r \ r \ \cos 45^\circ \]

Divisons par \(r^2\) :

\[ \frac{c^2}{r^2} = 1 + 1 - 2 \ \cos 45^\circ \]

Remplaçons le cosinus par sa valeur :

\[ \frac{c^2}{r^2} = 2 - 2 \ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Prenons la racine carrée :

\[ \frac{c}{r} = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \]

Ce rapport nous donne la longueur du côté de l’octogone régulier en fonction du rayon du cercle circonscrit :

\[ c = r \ \sqrt{2 - \sqrt{2}} \]

Ce résultat peut se réexprimer en fonction du nombre d’argent :

\[ \psi = 1 + \sqrt{2} \]

On peut remplacer la racine de deux par :

\[ \sqrt{2} = \psi - 1 \]

L’expression de la longueur du côté devient :

\[ c = r \ \sqrt{2 - (\psi - 1)} \]

En simplifiant, on obtient :

\[ c = r \ \sqrt{3 - \psi} \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

On voit que :

\[ \theta = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]

Examinons le triangle \(O P_2 P_8\), isocèle et rectangle en \(O\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + \theta = 2 \ \alpha + 90^\circ = 180^\circ \]

On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

Examinons le triangle isocèle \(P_1 P_2 P_6\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + 135^\circ = 180^\circ \]

On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = 22.5^\circ \]

Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

La $3$-diagonale \([P_3,P_7]\) est un diamètre du cercle circonscrit. Par conséquent, le triangle \(P_1 P_3 P_7\) est rectangle en \(P_1\) et :

\[ \alpha = 90^\circ \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

On définit la longueur de la diagonale courte :

\[ L = \abs{P_2 P_8} \]

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle \(O P_2 P_8\) nous donne :

\[ L^2 = r^2 + r^2 = 2 \ r^2 \]

En prenant la racine carrée, on obtient une expression de la longueur de la diagonale courte en fonction du rayon du cercle circonscrit :

\[ L = r \ \sqrt{2} \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Les angles internes du quadrilatère \(P_2 P_4 P_6 P_8\) sont des angles droits, car formés par des diagonales courtes partant de mêmes sommets. De plus, toutes les diagonales courtes on une même longueur \(r \ \sqrt{2}\). Le quadrilatère \(P_2 P_4 P_6 P_8\) est donc un carré :

Même constat pour le carré \(P_1 P_3 P_5 P_7\) :

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

On voit que :

\[ \theta = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \]

Examinons le triangle isocèle \(O P_3 P_8\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + \theta = 2 \ \alpha + 135^\circ = 180^\circ \]

On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = 22.5^\circ \]

Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

L’angle \(\alpha\) forme, avec un angle de \(22.5^\circ\), un angle de \(67.5^\circ\) :

\[ \alpha + 22.5^\circ = 67.5^\circ \]

On en déduit la valeur de \(\alpha\) :

\[ \alpha = 67.5^\circ - 22.5^\circ = 45^\circ \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents dans la notation des angles.

L’angle \(\alpha\) forme, avec deux angles de \(45^\circ\), un angle interne de \(135^\circ\) :

\[ \alpha + 2 \cdot 45^\circ = 135^\circ \]

On en déduit que :

\[ \alpha = 135^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 45^\circ \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

On définit la longueur de la diagonale de classe \(2\) :

\[ \mathscr{L} = \abs{P_3 P_8} \]

L’angle au centre du triangle \(O P_3 P_8\) a une amplitude de :

\[ \abs{\angleflex{P_3 O P_8}} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \]

Appliquons la loi des cosinus à la longueur \(\mathscr{L}\) dans le triangle \(O P_3 P_8\) :

\[ \mathscr{L}^2 = r^2 + r^2 - 2 \ r \ r \ \cos 135^\circ \]

Divisons par \(r^2\) :

\[ \frac{\mathscr{L}^2}{r^2} = 1 + 1 - 2 \ \cos 135^\circ \]

Le cosinus de l’angle supplémentaire nuos donne :

\[ \cos 135^\circ = - \cos(180^\circ - 135^\circ) = - \cos 45^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \]

La loi des cosinus devient :

\[ \frac{\mathscr{L}^2}{r^2} = 2 + 2 \ \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2} \]

Prenons la racine carrée :

\[ \frac{\mathscr{L}}{r} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \]

Ce rapport nous donne la longueur de la $2$-diagonale en fonction du rayon :

\[ \mathscr{L} = r \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents dans la notation des angles.

Le quadrilatère \(P_1 P_2 P_3 P_8\) est un trapèze isocèle car il a deux côtés \([P_1,P_8]\) et \([P_2,P_3]\) de même longueur formant un angle de même amplitude avec le côté \([P_3,P_8]\).

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

La somme des angles dans le triangle \(I P_2 P_3\) nous donne :

\[ \alpha = 180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]

Ce triangle est donc rectangle en \(I\).

L’angle \(\beta\) est un angle droit car il forme, avec un angle de \(45^\circ\), un angle interne de l’octogone de \(135^\circ\) :

\[ \beta = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]

L’angle \(\gamma\) est un angle droit car il forme, avec un angle de \(45^\circ\), un angle interne de l’octogone de \(135^\circ\) :

\[ \gamma = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]

Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation.

• On remarque que les quadrilatères \(P_1 P_2 I_1 I_4\) et similaires sont des rectangles. Leurs côtés opposés sont identiques :

\[ \abs{I_1 I_4} = c \qquad \qquad \abs{I_2 I_3} = c \qquad \qquad \abs{I_1 I_2} = c \qquad \qquad \abs{I_3 I_4} = c \]

Par conséquent, le rectangle \(I_1 I_2 I_3 I_4\) est un carré.

• Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(I_1 P_2 P_3\) nous donne :

\[ c^2 = a^2 + a^2 = 2 \ a^2 \]

Prenons la racine carrée :

\[ c = a \ \sqrt{2} \]

Isolons \(a\) :

\[ a = \frac{c}{\sqrt{2}} \]

Multiplions numérateur et dénominateur par la racine de \(2\) :

\[ a = \frac{c \ \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} \]

On obtient finalement :

\[ a = c \ \frac{\sqrt{2}}{2} \]