Eclats de vers : Matemat : Norme dérivée du produit scalaire

Table des matières

1. Dépendances
2. Introduction
3. Addition
4. Théorème de Pythagore
5. Egalité du parallélogramme
6. Inégalité de Cauchy-Schwartz
7. Norme et inégalité de Minkowski
8. Distance
9. Produit scalaire à partir de la norme
10. Norme et coordonnées
11. Norme sur \(\corps^n\)
12. Norme sur \(\setC\)
13. Représentation matricielle

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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)

\label{chap:ps}

1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

2. Introduction

Soit un espace vectoriel \(E\) muni du produit scalaire \(\scalaire{}{}\). Nous allons analyser les propriétés de l'application \(\norme{.} : E \mapsto \corps\) associée au produit scalaire et définie par :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} }\]

pour tout \(x \in E\).

3. Addition

Soit \(x,y \in E\) et \(\alpha,\beta \in \setC\). On a :

\begin{align} \norme{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}^2 &= \scalaire{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{\alpha \cdot x + \beta \cdot y} \) \( &= \conjaccent{\alpha} \cdot \alpha \cdot \scalaire{x}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\beta} \cdot \beta \cdot \scalaire{y}{y} \) \( &= \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \abs{\beta}^2 \cdot \norme{y}^2 \end{align}

Dans le cas particulier où \(\beta = 1\), on a :

\begin{align} \norme{y + \alpha \cdot x} &= \norme{y}^2 + \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{x}{y} + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \) \( &= \norme{y}^2 + 2 \Re(\alpha \cdot \scalaire{y}{x}) + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \end{align}

4. Théorème de Pythagore

Si \(x,y \in E\) sont orthogonaux :

\[\scalaire{x}{y} = 0\]

on a également \(\scalaire{y}{x} = \conjugue \scalaire{x}{y} = 0\) et :

\begin{align} \scalaire{x + y}{x + y} &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{x}{y} + \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y} \end{align}

En exprimant cette relation en terme de \(\norme{.}\), on obtient :

\[\norme{x + y}^2 = \norme{x}^2 + \norme{y}^2\]

résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore.

5. Egalité du parallélogramme

En additionnant les équations :

\( \norme{x + y}^2 = \scalaire{x}{x} + \scalaire{x}{y} + \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \)

\( \norme{x - y}^2 = \scalaire{x}{x} - \scalaire{x}{y} - \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \)

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2 = 2(\scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y}) = 2 (\norme{x}^2 + \norme{y}^2)\]

6. Inégalité de Cauchy-Schwartz

Soit \(x,y \in E\) et \(\lambda \in \setC\). On a :

\[\norme{y - \lambda \cdot x}^2 = \scalaire{y}{y} - \lambda \cdot \scalaire{y}{x} - \conjaccent{\lambda} \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\lambda} \cdot \lambda \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

Le choix magique de \(\lambda\) (nous verrons d'où il vient en étudiant les projections) est :

\[\lambda = \frac{ \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} }\]

On a alors :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } - \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} } + \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x}^2 } \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

En simplifiant les termes, on arrive à :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } = \scalaire{y}{y} - \frac{ \abs{\scalaire{x}{y}}^2 }{ \scalaire{x}{x} } \ge 0\]

En faisant passer le second terme dans le second membre et en multipliant par \(\scalaire{x}{x}\), on arrive finalement à :

\[\abs{\scalaire{x}{y}}^2 \le \scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}\]

En prenant la racine carrée, on obtient une relation connue sous le nom d'inégalite de Cauchy-Schwartz :

\[\abs{\scalaire{x}{y}} \le \sqrt{\scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}} = \norme{x} \cdot \norme{y}\]

7. Norme et inégalité de Minkowski

Nous allons à présent vérifier que l'application \(\norme{.}\) est bien une norme.

7.1. Définie positivité

On voit que notre application est strictement définie positive car \(\norme{x} \ge 0\) pour tout \(x \in E\) et :

\[\norme{x} = 0 \Rightarrow \scalaire{x}{x} = 0 \Rightarrow x = 0\]

7.2. Produit mixte

La multiplication par un scalaire \(\alpha \in \setC\) nous donne :

\[\norme{\alpha \cdot x} = \sqrt{ \abs{\alpha}^2 \cdot \scalaire{x}{x} } = \abs{\alpha} \cdot \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \abs{\alpha} \cdot \norme{x}\]

7.3. Inégalité de Minkowski

On a :

\begin{align} \norme{x + y}^2 &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{x}{y} + \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} + 2 \Re(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \end{align}

Mais comme \(\abs{\Re(\scalaire{x}{y})} \le \abs{\scalaire{x}{y}} \le \norme{x} \cdot \norme{y}\), on a finalement :

\[\norme{x + y}^2 \le \norme{x}^2 + 2 \norme{x} \cdot \norme{y} + \norme{y}^2 = (\norme{x} + \norme{y})^2\]

d'où :

\[\norme{x + y} \le \norme{x} + \norme{y}\]

Cette troisième et dernière propriété étant vérifiée, l'application \(\norme{.} = \sqrt{\scalaire{}{}}\) est bien une norme.

8. Distance

On associe une distance à la norme et au produit scalaire par :

\[\distance(x,y) = \norme{x - y} = \sqrt{\scalaire{x - y}{x - y}}\]

pour tout \(x,y \in E\).

9. Produit scalaire à partir de la norme

En soutrayant les équations :

\( \norme{x + y}^2 = \scalaire{x}{x} + 2 \Re(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \)

\( \norme{x - y}^2 = \scalaire{x}{x} - 2 \Re(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \)

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 - \norme{x - y}^2 = 4 \Re(\scalaire{x}{y})\]

Comme \(\Re(\img z) = - \Im(z)\), on a aussi :

\begin{align} \norme{x + \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} + 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} - 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( \norme{x - \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} - 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} + 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \end{align}

En soustrayant ces deux résultats, on a donc :

\[\norme{x + \img y}^2 - \norme{x - \img y}^2 = - 4 \Im(\scalaire{x}{y})\]

On en conclut que :

\begin{align} \scalaire{x}{y} &= \Re(\scalaire{x}{y}) + \img \Im(\scalaire{x}{y}) \) \( &= \unsur{4} (\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2) + \frac{\img}{4} (\norme{x - \img y}^2 - \norme{x + \img y}^2) \end{align}

10. Norme et coordonnées

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u \in E\). On a :

\[u = \sum_i u_i \cdot e_i\]

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). La norme s'écrit alors :

\[\norme{u} = \sqrt{ \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot \scalaire{e_i}{e_j} \cdot u_j }\]

10.1. Base orthonormée

Si la base est orthonormée, les seuls termes ne s'annulant pas sont ceux où \(i = j\), et on a :

\[\norme{u} = \sqrt{ \sum_i \abs{u_i}^2 }\]

11. Norme sur \(\corps^n\)

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). On définit une norme sur \(\corps^n\), dite norme euclidienne, à partir du produit scalaire :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}\]

11.1. Normes \(k\)

Par extension, on définit une série de normes \(k\) par :

\[\norme{x}_k = \left( \sum_i \abs{x_i}^k \right)^{1/k}\]

Lorsque \(k\) devient très grand, il est clair que la contribution du \(\abs{x_i}^k\) le plus grand en valeur absolue devient énorme par rapport aux autres contributions de la norme. On peut vérifier que :

\[\lim_{k \mapsto +\infty} \norme{x}_k = \max_{i = 1}^n \abs{x_i}\]

On s'inspire de ce résultat pour définir :

\[\norme{x}_\infty = \max_{i = 1}^n \abs{x_i}\]

On nomme \(\norme{.}_\infty\) la norme « max ».

Attention, une norme \(k\) quelconque ne dérive en général pas d'un produit scalaire et ne possède donc pas les propriétés que nous avons vu pour la norme \(\norme{.} = \norme{.}_2 = \sqrt{\scalaire{}{}}\).

12. Norme sur \(\setC\)

Soit \((a,b) \in \setR^2\) et \(z = a + \img b\). Il est clair que le module :

\[\abs{z} = \abs{a + \img b} = \sqrt{a^2 + b^2} = \norme{(a,b)}\]

définit une norme sur \(\setC\).

13. Représentation matricielle

Soit le vecteur matriciel \(x = [x_1 \ ... \ x_n]^T\). Sa norme s'écrit :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\conjaccent{x}^T \cdot x}\]