Eclats de vers : Matemat : Norme dérivée du produit scalaire

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
• Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

Soit un espace vectoriel \(E\) muni du produit scalaire \(\scalaire{}{}\). Nous allons analyser les propriétés de l'application \(\norme{.} : E \mapsto \corps\) associée au produit scalaire et définie par :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} }\]

pour tout \(x \in E\).

Soit \(x,y \in E\) et \(\alpha,\beta \in \setC\). On a :

\begin{align} \norme{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}^2 &= \scalaire{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{\alpha \cdot x + \beta \cdot y} \) \( &= \conjaccent{\alpha} \cdot \alpha \cdot \scalaire{x}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\beta} \cdot \beta \cdot \scalaire{y}{y} \) \( &= \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \abs{\beta}^2 \cdot \norme{y}^2 \end{align}

Dans le cas particulier où \(\beta = 1\), on a :

\begin{align} \norme{y + \alpha \cdot x} &= \norme{y}^2 + \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{x}{y} + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \) \( &= \norme{y}^2 + 2 \Re(\alpha \cdot \scalaire{y}{x}) + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \end{align}

Si \(x,y \in E\) sont orthogonaux :

\[\scalaire{x}{y} = 0\]

on a également \(\scalaire{y}{x} = \conjugue \scalaire{x}{y} = 0\) et :

\begin{align} \scalaire{x + y}{x + y} &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{x}{y} + \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y} \end{align}

En exprimant cette relation en terme de \(\norme{.}\), on obtient :

\[\norme{x + y}^2 = \norme{x}^2 + \norme{y}^2\]

résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore.

En additionnant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2 = 2(\scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y}) = 2 (\norme{x}^2 + \norme{y}^2)\]

Soit \(x,y \in E\) et \(\lambda \in \setC\). On a :

\[\norme{y - \lambda \cdot x}^2 = \scalaire{y}{y} - \lambda \cdot \scalaire{y}{x} - \conjaccent{\lambda} \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\lambda} \cdot \lambda \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

Le choix magique de \(\lambda\) (nous verrons d'où il vient en étudiant les projections) est :

\[\lambda = \frac{ \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} }\]

On a alors :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } - \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} } + \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x}^2 } \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

En simplifiant les termes, on arrive à :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } = \scalaire{y}{y} - \frac{ \abs{\scalaire{x}{y}}^2 }{ \scalaire{x}{x} } \ge 0\]

En faisant passer le second terme dans le second membre et en multipliant par \(\scalaire{x}{x}\), on arrive finalement à :

\[\abs{\scalaire{x}{y}}^2 \le \scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}\]

En prenant la racine carrée, on obtient une relation connue sous le nom d'inégalite de Cauchy-Schwartz :

\[\abs{\scalaire{x}{y}} \le \sqrt{\scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}} = \norme{x} \cdot \norme{y}\]

Nous allons à présent vérifier que l'application \(\norme{.}\) est bien une norme.

On associe une distance à la norme et au produit scalaire par :

\[\distance(x,y) = \norme{x - y} = \sqrt{\scalaire{x - y}{x - y}}\]

pour tout \(x,y \in E\).

En soutrayant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 - \norme{x - y}^2 = 4 \Re(\scalaire{x}{y})\]

Comme \(\Re(\img z) = - \Im(z)\), on a aussi :

\begin{align} \norme{x + \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} + 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} - 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( \norme{x - \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} - 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \) \( &= \scalaire{x}{x} + 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \end{align}

En soustrayant ces deux résultats, on a donc :

\[\norme{x + \img y}^2 - \norme{x - \img y}^2 = - 4 \Im(\scalaire{x}{y})\]

On en conclut que :

\begin{align} \scalaire{x}{y} &= \Re(\scalaire{x}{y}) + \img \Im(\scalaire{x}{y}) \) \( &= \unsur{4} (\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2) + \frac{\img}{4} (\norme{x - \img y}^2 - \norme{x + \img y}^2) \end{align}

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u \in E\). On a :

\[u = \sum_i u_i \cdot e_i\]

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). La norme s'écrit alors :

\[\norme{u} = \sqrt{ \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot \scalaire{e_i}{e_j} \cdot u_j }\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). On définit une norme sur \(\corps^n\), dite norme euclidienne, à partir du produit scalaire :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}\]

Soit \((a,b) \in \setR^2\) et \(z = a + \img b\). Il est clair que le module :

\[\abs{z} = \abs{a + \img b} = \sqrt{a^2 + b^2} = \norme{(a,b)}\]

définit une norme sur \(\setC\).

Soit le vecteur colonne \(x = [x_1 \ ... \ x_n]^T\). Sa norme s'écrit :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\conjaccent{x}^T \cdot x}\]