Eclats de vers : Matemat : Naturels

On note :

\[ \setN_0 = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... \} \]

Posant \(i = m\) et \(j = n^+\), on voit clairement que :

\[i + j = i^+ + j^-\]

Pour \(m \in \setN\) quelconque, on a :

\[0 + m = 0^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(m\) fois. Mais comme \(0^{+...+} = m\), on a :

\[0 + m = m\]

On a donc \(0 + m = m + 0 = m\). On dit que \(0\) est neutre pour l'addition. On voit clairement d'après la définition que \(0\) est le seul neutre pour l'addition.

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition de l'addition, on a :

\[m + n = m^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(m\) suivies de \(n\) opérations de successions. On a aussi :

\[n + m = n^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(n\) suivies de \(m\) opérations de successions. Les deux résultats étant identiques,on a :

\[m + n = n + m\]

On dit que l'addition sur \(\setN\) est commutative.

Soit \(m,n,p \in \setN\).

Développons l'addition \(m + (p + n)\). On a :

\[m + (p + n) = m + p^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois. Il vient ensuite :

où \(+...+-...-\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois, suivie de l'opération de prédécession appliquée \(n\) fois également. Mais comme le prédécesseur du sucesseur est égal à lui-même par définition, on a \(p^{+-} = p\). On constate en développant que la même propriété doit être vérifiée lorsque les opérations de succession et de prédécession sont appliquées un nombre quelconque mais identique de fois. On a donc :

\[p^{+...+-...-} = p\]

En tenant compte de ces résultats dans le développement de la somme ci-dessus, on arrive à :

\[m + (p + n) = m^{+...+} + p\]

Mais \(m^{+...+}\) n'est rien d'autre que la somme \(m + n\), et :

\[m + (p + n) = (m + n) + p\]

L'addition étant commutative, on peut inverser \(p\) et \(n\) pour obtenir :

\[m + (n + p) = (m + n) + p\]

On peut donc associer les termes d'une somme comme on le désire, le résultat restera identique. On dit que l'addition sur \(\setN\) est associative. On note aussi :

\[m + n + p = m + (n + p) = (m + n) + p\]

On note aussi :

\[m \ge n\]

pour signifier que \(n \le m\).

Soir \(m,n \in \setN\). Comme \(m\) est, directement ou indirectement, un successeur ou un prédécesseur de \(n\), on a soit :

\[m \le n\]

soit :

\[n \le m\]

L'ordre usuel sur \(\setN\) est total.

On note :

\[n \strictinferieur m\]

ou :

\[m \strictsuperieur n\]

lorsque \(n \le m\) et \(m \ne n\).

Comme tous les éléments de \(\setN\) sont supérieurs au égaux à \(0\), on a clairement :

\[\minor \setN = \{ 0 \}\]

et :

\[\inf \setN = \min \setN = 0\]

Par contre, si on suppose avoir trouvé \(s \in \major \setN\), on a \(s \le s^+ \in \setN\) ce qui contredit l'hypothèse de majorant. L'ensemble des majorants est donc vide, et le supremum n'existe pas dans \(\setN\). On dit alors que le suprémum est infini et on note :

\[\sup \setN = +\infty\]

Soit l'ensemble :

\[\Delta = \{ (m,n) \in \setN^2 : n \le m \}\]

Choisissons \((m,n) \in \Delta\). On peut trouver \(p \in \setN\) tel que :

\[m = n + p\]

Comme :

\[n + p = p + n = p^{+...+} = m\]

on voit que :

\[p = m^{-...-}\]

où \(-...-\) désigne \(n\) opérations de prédécessions. Le \(p\) ainsi défini est donc unique. On dit que \(p\) est la soustraction de \(m\) et \(n\), et on le note :

\[p = m - n\]

Si \(m \strictinferieur n\), calculer la soustraction :

\[p = m - n = m^{-...-} = 0^{+...+-...-}\]

reviendrait à effectuer plus d'opérations de prédécessions que de sucessions. Nous serions donc amenés à devoir évaluer le prédécesseur de l'élément racine \(0\), qui n'existe pas dans \(\setN\). Cette opération n'est par conséquent pas définie.

La définition implique directement l'équivalence :

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On a trivialement :

\[(m - n) - p = m - (n + p)\]

On note aussi :

\[m - n - p = (m - n) - p = m - (n + p)\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On voit que :

\[m - n - p = m - (n + p) = m - (p + n) = m - p - n\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(p \le n\). On a trivialement :

\[(m + n) - p = m + (n - p)\]

On note aussi :

\[m + n - p = (m + n) - p = m + (n - p)\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(m,p \le n\). On a trivialement :

La multiplication usuelle entre deux nombres \(m,n \in \setN\) est le nombre de cases que contient un tableau qui comporte \(m\) lignes et \(n\) colonnes. On la note \(\cdot : \setN \times \setN \mapsto \setN\).

Soit \(m,n \in \setN\). Augmenter le nombre de colonnes de \(1\) augmente le nombre de cases total du nombre de lignes \(m\) :

\[ m \cdot n^+ = m \cdot n + m\]

Augmenter le nombre de lignes de \(1\) augmente le nombre de cases total du nombre de colonnes \(n\) :

\[ m^+ \cdot n = m \cdot n + n \]

Posant \(i = m\) et \(j = n^+\), on en déduit que :

\[ i \cdot j = i \cdot j^- + i \]

Posant \(k = m^+\) et \(l = n\), on en déduit que :

\[ k \cdot l = k^- \cdot l + l \]

Soit \(m,n \in \setN\). Il va de soi qu’un tableau contenant une seule ligne de \(n\) colonnes contient au total \(n\) cases :

\[ 1 \cdot n = n \]

et qu’un tableau contenant une seule colonne de \(m\) lignes contient au total \(m\) cases :

\[ m \cdot 1 = m \]

On a donc \(1 \cdot i = i \cdot 1 = i\) pour tout \(i \in \setN\). On dit que \(1\) est neutre pour la multiplication.

Soit \(m,n \in \setN\). Un tableau de taille \((m,n)\) contient autant de cases qu’un tableau de taille \((n,m)\). On a donc :

\[ m \cdot n = n \cdot m \]

La multiplication de naturels est commutative.

Soit \(m,n,p \in \setN\). En plaçant côte à côte un tableau \(T\) de taille \((m,n)\) avec un tableau \(U\) de taille \((m,p)\), on obtient un nombre de cases total :

\[ m \cdot n + m \cdot p \]

Mais le tableau formé en associant \(T\) et \(U\) est de taille \((m,n+p)\), ce qui nous donne un nombre de cases :

\[ m \cdot (n + p) \]

Ces deux expressions comptant le nombre de cases du même tableau, elles doivent être égales et on a :

\[ m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p \]

On dit que la multiplication se distribue sur l'addition.

Par commutativité, on a également :

\[ (n + p) \cdot m = n \cdot m + p \cdot m \]

Soit \(m,n \in \setN\). Il va de soi qu’un tableau ne contenant aucune ligne contient zéro case :

\[ m \cdot 0 = 0 \]

tout comme un tableau ne contenant aucune colonne :

\[ 0 \cdot n = 0 \]

On dit que l’élément \(0\) est un absorbant pour la multiplication.

On peut obtenir le même résultat en utilisant la distributivité :

\[ m \cdot 0 = m \cdot (n - n) = m \cdot n - m \cdot n = 0 \]

\[ 0 \cdot m = (n - n) \cdot m = n \cdot m - n \cdot m = 0 \]

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m \cdot (n \cdot p) = m + ... + m\]

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) termes « \(m\) ». Par associativité de l'addition, on peut les regrouper en \(p\) parenthèses contenant chacune \(n\) termes :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m + ... + m) + ... + (m + ... + m)\]

ce qui revient à :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) + ... + (m \cdot n)\]

Mais comme il y a \(p\) parenthèses, on a :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

La multiplication est donc associative. On note aussi :

\[m \cdot n \cdot p = m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

Soit \(m,n \in \setN\) tels que :

\[m \cdot n = 0\]

Nous allons prouver qu'au moins un des deux facteurs doit être nul. Supposons que \(m, n \ne 0\). On a alors :

\[m \cdot n = n + ... + n = 0\]

Mais comme \(n \ne 0\), on a :

\[n \strictsuperieur 0\]

et :

\[0 = n + ... + n \ge n \strictsuperieur 0\]

ce qui est impossible. On a donc l'implication :

\[m \cdot n = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0 \quad \mathrm{ou} \quad n = 0\]

Soit \(m,n \in \setN\). On définit la division entière \(\diventiere : \setN \times \setN \to \setN\) par :

\[ m \diventiere n = \sup \{ k \in \setN : k \cdot n \le m \} \]

On dit que \(m\) est le dividende, \(n\) le diviseur et \(m \diventiere n\) le quotient de \(m\) par \(n\).

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\) et :

\[A_{mn} = \{ k \in \setN : k \cdot n \le m \}\]

Pour tout naturel \(p\) vérifiant \(p \strictsuperieur m\), on a :

\[p \cdot n = p + ... + p \strictsuperieur p \strictsuperieur m\]

On en conclut que :

\[A_{mn} \subseteq \{ 0, 1, ..., m - 1, m \}\]

L'ensemble \(A_{mn}\) contient donc un nombre fini d'éléments. Comme l'ordre usuel sur \(\setN\) est total, on en conclut que \(A_{mn}\) admet un maximum identique au suprémum. La division entière de \(m\) par \(n\) est donc bien définie :

\[m \diventiere n = \max A_{mn} = \sup A_{mn}\]

L'inclusion nous donne l'inégalité des maxima :

\[\max A_{mn} \le \max \{ 0, 1, ..., m - 1, m \} = m\]

On en déduit que :

\[m \diventiere n \le m\]

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition, on voit que :

\[(m \diventiere n) \cdot n \le m\]

Il est donc licite de définir le naturel :

\[r = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

On dit que \(r\) est le modulo de \(m\) par rapport à \(n\) et on le note :

\[m \modulo n = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

On dit aussi que \(r = m \modulo n\) est le reste de la division entière de \(m\) par \(n\).

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition du modulo, a la décomposition :

\[ m = (m \diventiere n) \cdot n + m \modulo n \]

On note souvent ce résultat sous la forme :

\[ m = k \cdot n + r \]

où \(k = m \diventiere n\) est le quotient et \(r = m \modulo n\) le reste de la division euclidienne.

Soit \(m,n,q,i,j,k \in \setN\) avec \(n,j \ne 0\) tels que :

\[m = q \cdot n\] \[i = k \cdot j\]

On a alors les divisions exactes :

\[m \diventiere n = q\] \[i \diventiere j = k\]

De plus :

\[m \cdot i = q \cdot k \cdot n \cdot j\]

ce qui signifie que :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = q \cdot k\]

On a donc :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = (m \diventiere n) \cdot (i \diventiere j)\]

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). On définit le plus grand commun diviseur de \(m\) et \(n\) par :

\[\pgcd(m,n) = \sup \{ k \in \setN : m \modulo k = n \modulo k = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[m = \big[ m \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

et :

\[n = \big[ n \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

Soit \(m,n \in \setN\). On définit le plus petit commun multiple de \(m\) et \(n\) par :

\[\ppcm(m,n) = \inf \{ k \in \setN : k \modulo m = k \modulo n = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere m \big] \cdot m\]

et :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere n \big] \cdot n\]

Nous convenons des règles de priorité :

\[m + n^p = m + (n^p)\]

\[m \cdot n^p = m \cdot (n^p)\]

valables pour tout \(m,n,p \in \setN\).

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m^{n+p} = m \cdot ... \cdot m\]

où le membre de droite compte \(n+p\) facteur \(m\). En regroupant les \(n\) premiers facteurs dans une première parenthèse et les \(p\) facteurs restant dans la seconde, on a :

\[m^{n+p} = (m \cdot ... \cdot m) \cdot (m \cdot ... \cdot m)\]

qui n'est rien d'autre que :

\[m^{n+p} = m^n \cdot m^p\]

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot n \cdot ... \cdot m \cdot n\]

où le membre de droite compte \(p\) facteurs \(m \cdot n\). La commutativité de la multiplication nous permet de les regrouper les \(m\) d'un coté et les \(n\) de l'autre :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot ... \cdot m \cdot n \cdot ... \cdot n\]

c'est-à-dire :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m^p \cdot n^p\]

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) facteurs. On en conclut que :

\[\left(m^n\right)^p = m^{n \cdot p}\]

On convient que :

\[x \cdot y ! = x \cdot (y !)\]