Eclats de vers : Matemat : Matrices élémentaires
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:matrice} : Les matrices
- Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs
2. Introduction
Les matrices élémentaires constituent une classe importante de matrice. Elles permettent d'obtenir d'importants résultats utiles tant sur le plan théorique que pour les applications numériques. Une matrice élémentaire de taille \((n,n)\) est déterminée par un scalaire \(\alpha \in \corps\) et le produit tensoriel de deux vecteurs \(u,v \in \corps^n\) :
\[\matelementaire(\alpha,u,v) = I + \alpha \cdot u \otimes v = I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual\]
3. Inverse
Considérons le produit :
\begin{align} \matelementaire(\alpha,u,v) \cdot \matelementaire(\beta,u,v) &= I + (\alpha + \beta) \cdot u \cdot v^\dual + \alpha \cdot \beta \cdot u \cdot v^\dual \cdot u \cdot v^\dual \) \( &= I + [\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta \cdot (v^\dual \cdot u)] \cdot u \cdot v^\dual \end{align}On voit que si on peut trouver un scalaire \(\beta\) tel que :
\[\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta \cdot (v^\dual \cdot u) = 0\]
le produit des deux matrices sera égal à la matrice identité. Ce sera possible si \(1 + \alpha \cdot v^\dual \cdot u \ne 0\). On a alors :
\[\beta = - \frac{\alpha}{1 + \alpha \cdot (v^\dual \cdot u)}\]
et :
\[\matelementaire(\alpha,u,v) \cdot \matelementaire(\beta,u,v) = I\]
Par symétrie, il est clair que le produit des deux matrices ne change pas lorsqu'on intervertit \(\alpha\) et \(\beta\). On a donc aussi :
\[\matelementaire(\beta,u,v) \cdot \matelementaire(\alpha,u,v) = I\]
Ces deux conditions étant remplies, on a :
\[\matelementaire(\beta,u,v) = \matelementaire(\alpha,u,v)^{-1}\]
Les matrices élémentaires sont donc très faciles à inverser.
4. Matrices élémentaires de transformation
Nous allons construire une matrice élémentaire qui transforme un vecteur donné \(x \in \matrice(\corps,n,1)\) non nul en un autre vecteur donné \(y \in \matrice(\corps,n,1)\) de même taille.
4.1. Colonne
On cherche une matrice élémentaire \(E_{yx}\) telle que \(E_{yx} \cdot x = y\). L'équation :
\[(I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual) \cdot x = x + \alpha \cdot u \cdot (v^\dual \cdot x) = y\]
nous donne la condition :
\[\alpha \cdot (v^\dual \cdot x) \cdot u = y - x\]
On peut donc choisir par exemple \(u = y - x\) et \(v = x\). On a alors \(\alpha = 1 / (x^\dual \cdot x) \ne 0\) et on se retrouve avec la matrice élémentaire :
\[E_{yx} = I + \unsur{x^\dual \cdot x} \cdot (y - x) \cdot x^\dual\]
4.2. Inverse
Si l'inverse existe, il s'agit d'une matrice élémentaire de paramètre scalaire :
\[\beta = - \unsur{x^\dual \cdot x + x^\dual \cdot (y - x)} = - \unsur{x^\dual \cdot y}\]
Sous réserve que \(x^\dual \cdot y \ne 0\), on a donc :
\[E_{yx}^{-1} = I - \unsur{x^\dual \cdot y} \cdot (y - x) \cdot x^\dual\]
4.3. Ligne
On cherche une matrice élémentaire \(E_{yx}\) telle que \(x^\dual \cdot E_{yx} = y^\dual\). L'équation :
\[x^\dual \cdot (I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual) = x^\dual + \alpha \cdot (x^\dual \cdot u) \cdot v^\dual = y^\dual\]
nous donne la condition :
\[\alpha \cdot (x^\dual \cdot u) \cdot v^\dual = y^\dual - x^\dual\]
ou :
\[\conjaccent{\alpha} \cdot (u^\dual \cdot x) \cdot v = y - x\]
On peut donc choisir par exemple \(v = y - x\) et \(u = x\). On a alors \(\alpha = \conjaccent{\alpha} = 1 / (x^\dual \cdot x) \ne 0\) et on se retrouve avec la matrice élémentaire :
\[E_{yx} = I + \unsur{x^\dual \cdot x} \cdot x \cdot (y - x)^\dual\]
4.4. Inverse
Si l'inverse existe, il s'agit d'une matrice élémentaire de paramètre scalaire :
\[\beta = - \unsur{x^\dual \cdot x + (y - x)^\dual \cdot x} = - \unsur{y^\dual \cdot x}\]
Sous réserve que \(y^\dual \cdot x \ne 0\), on a donc :
\[E_{yx}^{-1} = I - \unsur{y^\dual \cdot x} \cdot x \cdot (y - x)^\dual\]
5. Matrices élémentaires de permutation
Les matrices élémentaires de permutations permettent de permuter deux lignes ou deux colonnes d'une matrice. Soit \(\canonique_1,...,\canonique_n\) les vecteurs de la base canonique de \(\corps^n\). La matrice de permutation élémentaire de taille \((n,n)\) et de paramètres \(i,j\) est définie par :
\[\matpermutation_{n,i,j} = I - (\canonique_i - \canonique_j) \cdot (\canonique_i - \canonique_j)^\dual\]
Dans la suite, nous considérons \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(P = \matpermutation_{n,i,j}\).
5.1. Permutation des colonnes
Soit les colonnes \(C_i = A \cdot \canonique_i\). On a :
\[A \cdot P = A - (C_i \cdot \canonique_i^\dual + C_j \cdot \canonique_j^\dual) + (C_j \cdot \canonique_i^\dual + C_i \cdot \canonique_j^\dual)\]
Les colonnes \(i\) et \(j\) de \(A\) sont donc permutées par multiplication à droite d'une matrice de permutation.
5.2. Permutation des lignes
Soit les lignes \(L_i = \canonique_i^\dual \cdot A\). On a :
\[P \cdot A = A - (\canonique_i \cdot L_i + \canonique_j \cdot L_j) + (\canonique_j \cdot L_i + \canonique_i \cdot L_j)\]
Les lignes \(i\) et \(j\) de \(A\) sont donc permutées par multiplication à gauche d'une matrice de permutation.
5.3. Symétrie
On constate que la transposée et la duale sont égales à la matrice elle-même :
\[\matpermutation_{n,i,j} = \matpermutation_{n,i,j}^T = \matpermutation_{n,i,j}^\dual\]
5.4. Inverse
Soit \(\Delta_{ij} = \canonique_i - \canonique_j\) et :
\[P = \matpermutation_{n,i,j} = I - \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]
Le produit de cette matrice avec elle-même s'écrit :
\[P \cdot P = I - 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual + \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual \cdot \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]
Mais comme \(\Delta_{ij}^\dual \cdot \Delta_{ij} = 2\), on a :
\[P \cdot P = I - 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual + 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]
Les deux derniers termes s'annihilent et :
\[P \cdot P = I\]
Les matrices de permutations élémentaires sont donc égales à leur propre inverse :
\[\matpermutation_{n,i,j} = \matpermutation_{n,i,j}^{-1}\]
6. Matrices de permutations
Une matrice de permutation \(P\) est une matrice de la forme :
\[P = P_1 \cdot ... \cdot P_n\]
où les \(P_i\) sont des matrices élémentaires de permutation.
6.1. Inverse
\( P^\dual \cdot P = P_n \cdot ... \cdot P_1 \cdot P_1 \cdot ... \cdot P_n = I \)
\( P \cdot P^\dual = P_1 \cdot ... \cdot P_n \cdot P_n \cdot ... \cdot P_1 = I \)
Donc \(P^\dual = P^{-1}\). Comme \(P^\dual = P^T\), la transposée d'une matrice de permutation est identique à son inverse. On dit que ces matrices sont orthogonales.