Eclats de vers : Matemat : Intervalles de réels

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). L'intervalle fermé \([a,b]\) est défini par :

\[[a,b] = \{ x \in \setR : a \le x \le b \}\]

L'intervalle ouvert \(\intervalleouvert{a}{b}\) est défini par :

\[\intervalleouvert{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \strictinferieur b \}\]

On recontre aussi les intervalles semi-ouverts à gauche :

\[\intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \le b \}\]

ou à droite :

\[\intervallesemiouvertdroite{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \le x \strictinferieur b \}\]

Soit \(a \in \setR\). Les intervalles non bornés sont des intervalles partant de l'infini négatif ou/et allant jusqu'à l'infini positif :

\begin{align} \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \ge a \} \\ \intervalleouvert{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \strictsuperieur a \} \\ \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \le a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \strictinferieur a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{+\infty} &= \setR \end{align}

Soit \(c,r,x \in \setR\) avec \(r \ge 0\). La condition \(\abs{x - c} \le r\) est équivalente à \(x - c \le r\) et \(-(x - c) = c - x \le r\). On en déduit que :

ce qui revient à dire que \(x \in [c - r, c + r]\). Nous obtenons un résultat analogue avec les inégalités strictes. On peut donc exprimer les boules en terme d'intervalles :

\begin{align} \boule[c,r] &= [c - r, c + r] \\ \boule(c,r) &= \ \intervalleouvert{c - r}{c + r} \end{align}

On peut inverser ces relations et exprimer certains intervalles en termes de boules. Soit \(a = c - r\) et \(b = c + r\). On a alors \(a \le b\) et :

On en déduit que :

\begin{align} [a,b] &= \boule\left[\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right] \\ \\ \intervalleouvert{a}{b} &= \boule\left(\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right) \end{align}

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\) et \(x \in \setR\).

Pour que \(x \ge [a,b]\), il faut que \(x \ge b\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \ge b \ge y\) d'où \(x \ge y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\major [a,b] = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\major \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Pour que \(x \le [a,b]\), il faut que \(x \le a\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \le a \le y\) d'où \(x \le y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\minor [a,b] = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\minor \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). On a clairement :

\begin{align} \max [a,b] &= \max \intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{b} = b \\ \min [a,b] &= \min \intervallesemiouvertdroite{a}{b} = \min \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} \ = a \end{align}

Les autre types d'intervalles n'admettent ni maximum ni minimum.

Dans le cas où le maximum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\sup I = \max I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\sup \intervalleouvert{a}{b} = \min \major \intervalleouvert{a}{b} = \min [b, +\infty[ \ = b\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

Dans le cas où le minimum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\inf I = \min I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\inf \intervalleouvert{a}{b} = \max \minor \intervalleouvert{a}{b} = \max \ ]-\infty, a] = a\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

On peut vérifier que :

\begin{align} \adh [a,b] &= \adh \intervalleouvert{a}{b} = [a,b] \\ \interieur [a,b] &= \interieur \intervalleouvert{a}{b} = \ ]a,b[ \end{align}

et ainsi de suite. La frontière est donc simplement :

\[\partial [a,b] = \partial \intervalleouvert{a}{b} = \{a,b\}\]