Eclats de vers : Matemat : Fractions rationnelles

On cherche à écrire une fraction rationnelle du type :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} \]

sous la forme d’une somme de deux fractions simples contenant des polynômes de degré 1 au dénominateur :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} \]

Mettons les termes du membres de droite au dénominateur :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \frac{A \ (x - b) + B \ (x - a)}{(x - a) \ (x - b)} \]

On en conclut que :

\[ 1 = A \ (x - b) + B \ (x - a) \]

Développons :

\[ 1 = A \ x - A \ b + B \ x - B \ a \]

et regroupons sous la forme classique d’un polynôme :

\[ 1 = (A + B) \ x - A \ b - B \ a \]

Comparons les termes en \(x\) :

\[ A + B = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad B = - A \]

et les termes indépendants :

\[ 1 = - (A \ b + B \ a) = - (A \ b - A \ a) = -A \ (b - a) = A \ (a - b) \]

On en conclut que :

\[ A = \unsur{a - b} \]

et :

\[ B = \frac{-1}{a - b} \]

Notre fraction peut donc s’écrire sous la forme :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \unsur{a - b} \left( \unsur{x - a} - \unsur{x - b} \right) \]