Eclats de vers : Matemat : Fonctions indicatrices
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonctionsIndicatrices}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
- Chapitre \ref{chap:naturels} : Les naturels
- Chapitre \ref{chap:entiers} : Les entiers
- Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
2. Définition
Soit un ensemble de référence \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). La fonction indicatrice
\[\indicatrice_A : \Omega \mapsto \{ 0 , 1 \}\]
associée à l'ensemble \(A\) permet de déterminer si un élément quelconque de \(\Omega\) appartient où non à \(A\). Elle est définie par :
\[ \indicatrice_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } \ x \in A \\ 0 & \text{si } \ x \in \Omega \setminus A \end{cases} \]
2.1. Crochets
On note aussi :
\[\indicatrice[A] = \indicatrice_A\]
et :
\[\indicatrice[A](x) = \indicatrice_A(x)\]
3. Ensemble vide
Notons en particulier que :
\[\indicatrice[\emptyset] = 0\]
4. Ordre
Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \subseteq B\). On voit que :
- pour tout \(x \in A\), on a aussi \(x \in B\) et \(\indicatrice_A(x) = \indicatrice_B(x) = 1\)
- pour tout \(x \in \Omega \setminus A\), on a \(\indicatrice_A(x) = 0 \le \indicatrice_B(x)\)
On en conclut que :
\[\indicatrice_A(x) \le \indicatrice_B(x)\]
pour tout \(x \in \Omega\), c'est-à-dire :
\[\indicatrice_A \le \indicatrice_B\]
L'ordre des fonctions indicatrices correspond à l'ordre inclusif des ensembles.
5. Intersection
Soit \(A, B \subseteq \Omega\). On voit que :
- si \(x \in A \cap B\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 1 \cdot 1 = 1 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
- si \(x \in A \cap (\Omega \setminus B)\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 1 \cdot 0 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
- si \(x \in (\Omega \setminus A) \cap B\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 0 \cdot 1 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
- si \(x \in \Omega \setminus (A \cup B)\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 0 \cdot 0 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
Donc :
\[\indicatrice[A \cap B] = \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B\]
6. Union d'ensembles disjoints
Si \(A \cap B = \emptyset\), on a clairement :
\[\indicatrice[A \cup B] = \indicatrice_A + \indicatrice_B\]
7. Différence
Soit les ensembles \(A\) et \(B\). On a la décomposition :
\[A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\]
On sait que les deux sous-ensembles sont disjoints :
\[(A \setminus B) \cap (A \cap B) = \emptyset\]
On a donc :
\[\indicatrice_A = \indicatrice[A \setminus B] + \indicatrice[A \cap B]\]
On en conclut que :
\begin{align} \indicatrice[A \setminus B] &= \indicatrice_A - \indicatrice[A \cap B] \\ &= \indicatrice_A - \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B \end{align}8. Union d'ensembles quelconques
Soit les ensembles \(A\) et \(B\). On a la décomposition :
\[A \cup B = (A \setminus B) \cup B\]
On voit que les deux sous-ensembles sont disjoints :
\[(A \setminus B) \cap B = \emptyset\]
On en conclut que :
\[\indicatrice[A \cup B] = \indicatrice[A \setminus B] + \indicatrice_B\]
Reprenant l'expression de la différence, on a finalement :
\begin{align} \indicatrice[A \cup B] &= \indicatrice_A + \indicatrice_B - \indicatrice[A \cap B] \\ &= \indicatrice_A + \indicatrice_B - \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B \end{align}9. Produit cartésien
Pour tout \((x,y) \in A \times B\), on a :
\[\indicatrice[A \times B](x,y) = \indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(y)\]
10. Delta de Kronecker
Considérons l'ensemble \(I \subset \Omega^2\) défini par :
\[I = \{ (i,j) \in \Omega^2 : i = j \}\]
Le delta de Kronecker est simplement :
\[\indicatrice_{ij} = \indicatrice_I(i,j)\]
On a donc :
\[ \indicatrice_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} \]
10.1. Notation
On note aussi :
\[\indicatrice^{ij} = \indicatrice_i^j = \indicatrice_{ij}\]