Eclats de vers : Matemat : Fonctions hyperboliques
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Introduction
Le cosinus hyperbolique \(\cosh\) est défini comme étant la composante paire de l'exponentielle. On a donc :
\[\cosh(x) = \unsur{2} \ \Big[ \exp(x) + \exp(-x) \Big]\]
pour tout \(x \in \setR\). Le sinus hyperbolique \(\sinh\) est défini comme étant la composante impaire de l'exponentielle. On a donc :
\[\sinh(x) = \unsur{2} \ \Big[ \exp(x) - \exp(-x) \Big]\]
pour tout \(x \in \setR\).
1.1. Décomposition
On a :
\[\exp = \cosh + \sinh\]
avec :
\begin{align} \cosh(x) &= \cosh(-x) \) \( \sinh(x) &= -\sinh(-x) \end{align}pour tout réel \(x\).
1.2. Valeurs particulières
On a :
\[\cosh(0) = \unsur{2} \Big[ \exp(0) + \exp(0) \Big] = \unsur{2} (1 + 1) = 1\]
et :
\[\sinh(0) = \unsur{2} \Big[ \exp(0) - \exp(0) \Big] = 0\]
2. Relation fondamentale
Soit un réel \(x\) et :
\( c = \cosh(x) \)
\( s = \sinh(x) \)
Le carré du cosinus hyperbolique se développe en :
\[c^2 = \unsur{4} \ \Big[ \exp(x)^2 + 2 \ \exp(x) \cdot \exp(-x) + \exp(-x)^2 \Big]\]
Comme \(\exp(x) \cdot \exp(-x) = 1\), le développement devient :
\[c^2 = \unsur{4} \ \Big[ \exp(x)^2 + \exp(-x)^2 + 2\Big]\]
Le carré du sinus hyperbolique se développe en :
\[s^2 = \unsur{4} \ \Big[ \exp(x)^2 - 2 \ \exp(x) \cdot \exp(-x) + \exp(-x)^2 \Big]\]
Comme \(\exp(x) \cdot \exp(-x) = 1\), le développement devient :
\[s^2 = \unsur{4} \ \Big[ \exp(x)^2 + \exp(-x)^2 - 2\Big]\]
En soustrayant ces deux équations, on obtient :
\begin{align} c^2 - s^2 &= \frac{\exp(x)^2 + \exp(-x)^2 + 2 - \exp(x)^2 - \exp(-x)^2 + 2}{4} \) \( &= \frac{4}{4} = 1 \end{align}On a donc :
\[\cosh(x)^2 - \sinh(x)^2 = 1\]
3. Dérivées
Pour tout réel \(x\), on a :
\[\OD{\cosh}{x}(x) = \unsur{2} \Big[ \exp(x) - \exp(-x) \Big] = \sinh(x)\]
et :
\[\OD{\sinh}{x}(x) = \unsur{2} \Big[ \exp(x) + \exp(-x) \Big] = \cosh(x)\]
4. Intégrales
Comme \(\sinh\) est une primitive de \(\cosh\), on a :
\[\int_a^b \cosh(x) \ dx = \sinh(b) - \sinh(a)\]
Comme \(\cosh\) est une primitive de \(\sinh\), on a :
\[\int_a^b \sinh(x) \ dx = \cosh(b) - \cosh(a)\]
5. Tangente
La tangente hyperbolique \(\tanh\) est définie par :
\[\tanh(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x}\]
pour tout \(x \in \setR\).
5.1. Dérivée
On a :
\[\OD{\tanh}{x}(x) = \frac{\cosh(x)}{\cosh(x)} - \frac{\sinh(x) \cdot \sinh(x)}{\cosh(x)^2} = 1 - \tanh(x)^2\]
5.2. Problème différentiel
Comme :
\[\tanh(0) = \frac{\sinh(0)}{\cosh(0)} = \frac{0}{1} = 0\]
la tangente hyperbolique est solution \(u : \setR \mapsto \setR\) du problème différentiel :
\begin{align} \partial u(t) &= 1 - u(t)^2 \) \( u(0) &= 0 \end{align}vérifié pour tout \(t \in \setR\).