Eclats de vers : Matemat : Fonctions et opérations
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonctionsEtOperations}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre
- Chapitre \ref{chap:naturels} : Les naturels
- Chapitre \ref{chap:entiers} : Les entiers
- Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
2. Opérations induites
2.1. Introduction
Soit les fonctions \(f,g \in B^A\) et \(\opera\) une opération sur \(A\). On définit alors la fonction \(f \opera g\) par :
\[(f \opera g)(x) = f(x) \opera g(x)\]
pour tout \(x \in A\). Nous avons ainsi défini une opération sur \(B^A\) :
\[\opera : B^A \times B^A \mapsto B^A\]
induite par la loi équivalente sur \(B\).
2.2. Usuelles
Sur les anneaux et les corps, ou sur tout ensemble où sont définies les opérations usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :
- les sommes :
\[ (f + g)(x) = f(x) + g(x) \]
- les produits :
\[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \]
- les soustractions :
\[ (f - g)(x) = f(x) - g(x) \]
- les divisions :
\[ (f / g)(x) = f(x) / g(x) \]
pour tout \(x \in A\).
2.3. Opposé et inverse
Soit la fonction \(f \in B^A\). Si l'inverse pour l'addition \(-f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction opposée \(-f\) par :
\[(-f)(x) = -f(x)\]
pour tout \(x \in A\). On a alors :
\[f - f = 0\]
Si l'inverse pour la multiplication \(1/f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction \(1/f\) par :
\[(1/f)(x) = 1/f(x)\]
pour tout \(x \in A\). On a alors :
\[f \cdot 1/f = 1\]
2.4. Opérations mixte
Soit la fonction \(f \in B^A\) et \(c \in B\). Étant donnée une opération \(\opera\) définie sur \(B\), on définit les opérations mixtes \(f \opera c\) et \(c \opera f\) par :
\[ (f \opera c)(x) = f(x) \opera c \]
\[ (c \opera f)(x) = c \opera f(x) \]
pour tout \(x \in A\). Dans le cas où l'opération \(\opera\) définie sur \(B\) est commutative, on a bien entendu \(f \opera c = c \opera f\).
Sur les ensembles où sont définies les lois usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :
- les sommes :
\[ (f + c)(x) = f(x) + c \]
\[ (c + f)(x) = c + f(x) \]
- les produits :
\[ (f \cdot c)(x) = f(x) \cdot c \]
\[ (c \cdot f)(x) = c \cdot f(x) \]
- les soustractions :
\[ (f - c)(x) = f(x) - c \]
\[ (c - f)(x) = c - f(x) \]
- les divisions :
\[ (f / c)(x) = f(x) / c \]
\[ (c / f)(x) = c / f(x) \]
pour tout \(x \in A\).
3. Produit tensoriel
Soit les fonctions \(f : A \mapsto C\) et \(g : B \mapsto C\). Si \(C\) est muni de la multiplication \(\cdot\), on définit alors le produit tensoriel de \(f\) et \(g\), noté \(f \otimes g\), par :
\[ f \otimes g : A \times B \mapsto C \]
et :
\[ (f \otimes g)(x,y) = f(x) \cdot g(y) \]
pour tout \(x \in A\) et \(y \in B\).
4. Composée
4.1. Commutateur
Notons qu'en général la composition de deux fonction n'est pas commutative. On peut en effet trouver des fonctions \(f,g : A \mapsto A\) telles que \(f \circ g \ne g \circ f\).
Cette constatation nous amène à la notion de commutateur. Il s'agit d'une fonction \([f,g] : A \mapsto A\) définie par :
\[[f,g] = f \circ g - g \circ f\]
Cet opérateur est clairement antisymétrique :
\[[f,g] = - [g,f]\]
Dans le cas particulier où \([f,g] = 0\), on dit que les fonctions \(f\) et \(g\) commutent.
4.2. Puissance fonctionnelle et puissance
Attention à ne pas confondre exposant de la fonction et exposant de la valeur de la fonction en un point :
\[f(x)^n = \left[f(x)\right]^n = f(x) \cdot f(x)^{n - 1} \ne f^n(x) = (f \circ f^{n - 1})(x)\]
5. Élément nul
5.1. Noyau
Le noyau d'une fonction \(f : A \mapsto B\) est l'ensemble des \(x \in A\) où les valeurs de \(f\) sont égales au neutre pour l'addition :
\[\noyau f = \{ x \in A : f(x) = 0 \}\]
5.2. Support d'une fonction
Le support d'une fonction \(f : A \mapsto \Omega\) est l'adhérence de l'ensemble des points où \(f\) prend une valeur non nulle :
\[\support f = \adh \{ x \in A : f(x) \ne 0 \}\]
5.3. Remarque
Attention à ne pas confondre le suprémum d'un ensemble, noté « \(\sup\) » avec un seul « p », avec le support, noté « \(\support\) », qui prend deux « p ».