Eclats de vers : Matemat : Exponentielle complexe
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:expocomp}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
2. Introduction
Considérons l'unique solution \(u\) de l'équation différentielle :
\[ \OD{u}{t}(t) = z \cdot u(t) \]
\[ u(0) = 1 \]
où \(z \in \setC\). On définit l'exponentielle d'un nombre complexe par :
\[\exp( z \cdot t ) = u(t)\]
On a donc simplement :
\[\exp(z) = u(1)\]
3. Additivité
Les fonctions :
\[ s(t) = \exp( (z_1 + z_2) \cdot t ) \]
et :
\[ p(t) = \exp(z_1 t) \cdot \exp(z_2 t) \]
vérifient la même équation différentielle en \(u\) :
\[ \OD{u}{t}(t) = (z_1 + z_2) \ u(t) \]
\[ u(0) = 1 \]
En effet :
\[ \OD{s}{t}(t) = (z_1 + z_2) \ s(t) \]
\[ s(0) = 1 \]
et :
\[ \OD{p}{t}(t) = z_1 \ p(t) + z_2 \ p(t) = (z_1 + z_2) \ p(t) \]
\[ p(0) = 1 \]
On a donc \(s(t) = p(t)\) pour tout \(t\). En considérant le cas \(t=1\), on arrive à la propriété d'additivité des exponentielles :
\[\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \cdot \exp(z_2)\]
4. Formule d’Euler
4.1. Preuve par la dérivée du ratio
Soit la fonction \(R : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[ R(t) = \frac{\cos(t) + \img \sin(t)}{\exp(\img \ t)} \]
pour tout \(t \in \setR\). On peut réécrire ce ratio sous la forme :
\[ R(t) = \exp(- \img \ t) \cdot (\cos(t) + \img \sin(t)) \]
Sa dérivée vaut :
\begin{align*} \OD{R}{t}(t) &= - \img \cdot \exp(- \img \ t) \cdot (\cos(t) + \img \sin(t)) + \exp(- \img \ t) \cdot (-\sin(t) + \img \cos(t)) \\ &= \exp(- \img \ t) \cdot (- \img \cos(t) - \img^2 \sin(t) - \sin(t) + \img \cos(t)) \\ &= \exp(- \img \ t) \cdot (- \img \cos(t) + \sin(t) - \sin(t) + \img \cos(t)) \\ &= \exp(- \img \ t) \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}pour n’importe quel \(t\) réel. Il s’agit donc d’une fonction constante. On a en particulier :
\[ R(t) = R(0) = \cos(0) + \img \sin(0) = 1 + \img \cdot 0 = 1 \]
On en conclut que :
\[ \frac{\cos(t) + \img \sin(t)}{\exp(\img \ t)} = 1 \]
c’est-à-dire :
\[ \exp(\img \cdot t) = \cos(t) + \img \cdot \sin(t) \]
pour tout \(t \in \setR\).
4.2. Preuve par équation différentielle
Les fonctions trigonmétriques respectent le cycle de dérivation suivant :
\[ \partial \sin = \cos \]
\[ \partial \cos = - \sin \]
\[ \partial (- \sin) = - \cos \]
\[ \partial (- \cos) = \sin \]
On a en particulier :
\[ \NOD{\cos}{t}{2} = - \cos \]
\[ \NOD{\sin}{t}{2} = - \sin \]
Si on tient compte des conditions initiales en \(t = 0\), on se rend compte la fonction \(\cos\) est solution en \(u\) de l’équation différentielle :
\[ \partial^2 u = - u \]
\[ u(0) = 1 \]
\[ \partial u(0) = 0 \]
tandis que \(\sin\) est solution en \(v\) de :
\[ \partial^2 v = - v \]
\[ v(0) = 0 \]
\[ \partial v(0) = 1 \]
Quelle autre fonction pourrait vérifier une équation similaire ? Considérons la fonction exponentielle \(e\) définie par :
\[ e(t) = \exp(\alpha \cdot t) \]
On a :
\[ \partial^2 e(t) = \alpha^2 \cdot \exp(\alpha \cdot t) = \alpha^2 \cdot e(t) \]
Si on choisit \(\alpha^2 = -1\), et donc \(\alpha = \img \in \setC\), on a :
\[ \partial^2 e = - e \]
En ajoutant les conditions initiales :
\[ e(0) = \exp(0) = 1 \]
\[ \partial e(0) = \img \cdot \exp(0) = \img \]
on voit que :
\[ e : t \mapsto \exp(\img \cdot t) \]
vérifie :
\[ \partial^2 e(t) = - e \]
\[ e(0) = 1 \]
\[ \partial e(0) = \img \]
Par linéarité de l’équation différentielle, la fonction \(w\) définie par :
\[ w(t) = \beta \cdot \cos(t) + \gamma \cdot \sin(t) \]
vérifie :
\[ \partial^2 w(t) = - w \]
\[ w(0) = \beta \]
\[ \partial w(0) = \gamma \]
Il suffit de choisir \(\beta = 1\) et \(\gamma = \img\) :
\[ w : t \mapsto \cos(t) + \img \cdot \sin(t) \]
pour que \(w\) vérifie également l’équation :
\[ \partial^2 w(t) = - w \]
\[ w(0) = 1 \]
\[ \partial w(0) = \img \]
Cette équation différentielle avec conditions initiales sur la fonction et sa dérivée n’admettant qu’une et une seule solution, on en conclut que :
\[ \exp(\img \cdot t) = \cos(t) + \img \cdot \sin(t) \]
pour tout \(t \in \setR\).
4.3. Propriétés
4.3.1. Valeurs particulières
On déduit directement de la forume d’Euler que :
\[ \exp(\img \pi/2) = \img \]
\[ \exp(\img \pi) = -1 \]
\[ \exp(3\pi\img/2) = \img \]
\[ \exp(2\pi\img) = 1 \]
4.3.2. Périodicité
On a :
\[\exp[\img (t+2\pi)] = \exp(\img t)\]
pour tout \(t\in\setR\).
4.3.3. Exponentielle d’un complexe générique
Soit \(z \in \setC\) écrit sous la forme :
\[ z = a + \img \ b \]
où \(a,b \in \setR\). En utilisant l'additivité, on note que :
\[\exp(z) = \exp(a + \img \ b) = \exp(a) \cdot \exp(\img \ b) \]
et donc :
\[\exp(z) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + \img \ \sin(b))\]
4.3.4. Inversion
On a :
\[ \exp(- \img \ t) = \cos(-t) + \img \ \sin(-t) = \cos(t) - \img \ \sin(t) \]
En additionnant ces deux relations :
\[ \exp(\img \ t) = \cos(t) + \img \ \sin(t) \]
\[ \exp(- \img \ t) = \cos(t) - \img \ \sin(t) \]
nous avons :
\[ \exp(\img \ t) + \exp(- \img \ t) = 2 \ \cos(t) \]
d’où :
\[ \cos(t) = \frac{\exp(\img \ t) + \exp(- \img \ t)}{2} \]
En soustrayant la seconde relation de la première, nous avons :
\[ \exp(\img \ t) - \exp(- \img \ t) = 2 \ \sin(t) \]
d’où :
\[ \sin(t) = \frac{\exp(\img \ t) - \exp(- \img \ t)}{2} \]
4.3.5. Représentation d’un nombre complexe
Choisissant un angle \(\theta\in\setR\) tel que :
\[ \cos(\theta) = \frac{\Re(z)}{\abs{z}} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{\Im(z)}{\abs{z}} \]
on peut réexprimer \(z\) comme :
\[z = \abs{z}\ (\cos(\theta)+\img\ \sin(\theta)) = \abs{z}\ \exp(\img\ \theta)\]
Comme les fonctions \(\cos\) sont \(2\pi\) périodiques, il existe une infinité d'angles \(\theta\) vérifiant cette propriété. On définit l'argument de \(z\) comme l'unique \(\theta\) vérifiant cette propriété et se trouvant dans l'intervalle \([0,2\pi)\).
\[ \theta = \arg(z) \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} z = \abs{z}\exp(\img\theta) \\ \theta\in [0,2\pi) \end{cases} \]
4.3.6. Logarithme
Inspiré par la relation :
\[z = \abs{z}\exp(\img\arg(z))\]
et cherchant à étendre la propriété :
\[\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)\]
du logarithme sur \(\setR\), on définit le logarithme d'un complexe par :
\[ \ln(z) = \ln(\abs{z}) + \ln(\exp(\img\arg(z))) \]
On a donc :
\[ \ln(z) = \ln(\abs{z}) + \img\arg(z) \]
Pour un \(z \in \setC\) donné, l'ensemble des \(y \in \setC\) tels que :
\[\exp(y) = z\]
peut s'écrire :
\[\mathcal{Y} = \{ y_k = \ln(\abs{z}) + \img \arg(z) + 2 \pi \img k : k \in \setZ \}\]
4.3.7. Formules trigonométriques
Les complexes permettent de retrouver aisément les propriétés fondamentales des fonctions trigonométriques \(\cos\), \(\sin\). En se rappelant que :
\[\exp(-\img t) \cdot \exp(i t) = \exp(i t - i t) = \exp(0) = 1\]
on retombe sur :
\[ ( \cos(t) + \img \sin(t) ) \ ( \cos(t) - \img \sin(t) ) = 1 \]
et finalement :
\[ \cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1 \]
On a aussi :
\[ \cos(u+v) + \img \ \sin(u+v) = \exp\left[ \img \ ( u + v ) \right] = \exp\left[ \img \ u \right] \cdot \exp\left[ \img \ v \right] \]
d’où :
\[ \cos(u+v) + \img \ \sin(u+v) = (\cos(u) + \img \ \sin(u))\ (\cos(v) + \img \ \sin(v)) \]
En distribuant, puis en égalisant les parties réelles puis imaginaires, on retombe sur les formules d’additions d’angles :
\[ \cos(u+v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v) \]
\[ \sin(u+v) = \sin(u)\cos(v) + \sin(v)\cos(u) \]
4.3.8. Dérivation
En dérivant la relation reliant l'exponentielle aux fonctions trigonométriques, on obtient :
\[ \OD{}{t}( \cos(t) + \img \sin(t) ) = \OD{}{t}\exp(\img t) \]
\[ \OD{}{t} \cos(t) + \img \OD{}{t}\sin(t) = \img \exp(\img t) \]
\[ \OD{}{t} \cos(t) + \img \OD{}{t}\sin(t) = \img \cos(t) - \sin(t) \]
on a bien :
\[ \OD{}{t} \cos(t) = -\sin(t) \]
\[ \OD{}{t}\sin(t) = \cos(t) \]