Eclats de vers : Matemat : Espaces fonctionnels
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:mesure} : Les normes
- Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
- Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales
2. Fonctions intégrables
Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). Soit \(\abs{f} : A \mapsto \setR\) définie par :
\[\abs{f}(x) = \abs{f(x)}\]
pour tout \(x \in A\). Si \(f(x) \ge 0\), on a \(f^-(x) = 0\) et :
\[\abs{f(x)} = f(x) = f^+(x) = f^+(x) + f^-(x)\]
Si \(f(x) \strictinferieur 0\), on a \(f^+(x) = 0\) et :
\[\abs{f(x)} = -f(x) = f^-(x) = f^+(x) + f^-(x)\]
On en conclut que \(\abs{f} = f^+ + f^-\). Si \(f\) est intégrable, \(f^+\) et \(f^-\) le sont aussi et :
\[\int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) + \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]
La fonction \(\abs{f}\) est donc également intégrable. Inversément, si \(\abs{f}\) est intégrable, on a \(f^+ = \abs{f} - f^- \le \abs{f}\) et \(f^- = \abs{f} - f^+ \le \abs{f}\), d'où :
\( \int_A f^+(x) \ d\mu(x) \le \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \\ \)
\( \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \le \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \)
La fonction \(f\) est donc également intégrable. On en conclut que l'on peut représenter l'ensemble des fonctions intégrables par :
\[\lebesgue(A) = \left\{ f \in \setR^A : \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]
3. Intégrale complexe
Soit une fonction à valeurs complexes \(u : A \mapsto \setC\). On définit les fonctions à valeurs réelles associées \(v,w : A \mapsto \setR\) par :
\( \phi(x) = \Re(u(x)) \)
\( \psi(x) = \Im(u(x)) \)
\( \)
L'intégrale de la fonction \(u\) est alors définie par :
\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A \phi(x) \ d\mu(x) + \img \int_A \psi(x) \ d\mu(x)\]
4. Produit scalaire
Par analogie avec le produit scalaire sur \(\corps^n\) :
\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i \equiv \sum_i \conjaccent{x}(i) \cdot y(i)\]
on définit le produit scalaire entre deux fonctions \(u,v : A \mapsto \setC\) par :
\[\scalaire{u}{v} = \int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)\]
Cette application est clairement hermitienne et linéaire à droite. Comme l'intégrale d'une fonction positive est positive, on a aussi :
\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \ge 0\]
Il ne s'agit cependant pas tout à fait d'un produit scalaire, car la condition :
\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) = 0\]
n'implique pas que \(u = 0\) partout sur \(A\). Par contre, l'annulation de cette intégrale implique que la fonction positive \(x \mapsto \abs{u(x)}^2\) soit essentiellement nulle. On aura donc également \(u \essegal 0\). L'application \(\scalaire{}{}\) est donc essentiellement un produit scalaire. On parlera aussi de produit scalaire au sens faible. La norme essentielle (ou norme faible) associée est :
\[\norme{u} = \sqrt{ \scalaire{u}{u} } = \sqrt{ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) }\]
Sur quel espace ce « produit scalaire » est-il correctement défini ? Il faut que la norme associée soit finie :
\[\norme{u}^2 = \scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]
Si les normes de \(u\) et \(v\) sont finies, Cauchy-Schwartz nous garantit que :
\[\abs{\int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)} \le \left[ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \cdot \left[ \int_A \abs{v(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \strictinferieur +\infty\]
Nous définissons donc notre produit scalaire fonctionnel sur l'espace :
\[\lebesgue^2(A) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]
nommé espace de Lebesgue de degré \(2\).
5. Espaces de Lebesgue
L'espace de Lebesgue de degré \(k\) est l'ensemble des fonctions telles que l'intégrale de la puissance \(k\) existe (et ne soit donc pas infinie) :
\[\lebesgue^k(A,B) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^k \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]
5.1. Norme
La norme usuelle sur cet espace est définie par :
\[\norme{u}_k = \left[ \int_A \abs{u(x)}^k \ dx \right]^{1/k}\]
Il s'agit d'une norme faible.
6. Espace de fonctions essentiellement bornées
Par analogie avec la norme « max », on définit l'espace des fonctions essentiellement bornées par :
\[\lebesgue^\infty(A,B) = \left\{ u \in \setR^A : \supessentiel \{ \abs{u(x)} : x \in A \} \strictinferieur +\infty \right\}\]
7. Noyau
On peut généraliser le produit scalaire usuel de \(\lebesgue^2(A,B)\) en généralisant la notion de « matrice de produit scalaire ». On choisit une fonction \(K : A^2 \to B\) appelée « noyau » et on définit le produit scalaire associé :
\[\braket{u}{K}{v} = \scalaire{u}{v}_K = \int_{A^2} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\mu(y)\]
Ce noyau doit bien entendu respecter certaines propriétés afin de s'assurer que \(\scalaire{}{}_K\) soit bien un produit scalaire.