Eclats de vers : Matemat : Dimension n
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:dimensionN}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:naturel} : Les naturels
- Chapitre \ref{chap:entier} : Les entiers
- Chapitre \ref{chap:rationel} : Les rationnels
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
2. Définition
Conformément à la définition de la « puissance » d'un ensemble, \(\setN^n\) est l'ensemble des n-tuples :
\[\setN^n = \{ (m_1,m_2,...,m_n) : m_1,m_2,...,m_n \in \setN \}\]
où chaque composante \(m_i\) est un naturel. On a pareillement :
\[ \setZ^n = \{ (z_1,z_2,...,z_n) : z_1,z_2,...,z_n \in \setN \} \]
\[ \setQ^n = \{ (q_1,q_2,...,q_n) : q_1,q_2,...,q_n \in \setQ \} \]
\[ \setR^n = \{ (r_1,r_2,...,r_n) : r_1,r_2,...,r_n \in \setR \} \]
\[ \setC^n = \{ (c_1,c_2,...,c_n) : c_1,c_2,...,c_n \in \setC \]
Dans la suite, nous notons :
\[\mathcal{D} = \{ \setN^n , \setZ^n , \setQ^n , \setR^n , \setC^n \}\]
On dit que les éléments de \(\mathcal{D}\) sont des ensembles de dimension \(n\).
3. Egalité
Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :
\[ x = (x_1,x_2,...,x_n) \]
\[ y = (y_1,y_2,...,y_n) \]
On dit que \(x = y\) si et seulement si \(x_i = y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).
4. Élément nul
Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\). Le tuple \(0_n \in A^n\) défini par :
\[ 0_n = (0,0,...,0) \]
est appelé élément nul de \(A^n\).
Lorsqu’on ne risque pas de confondre l’élément nul de \(A^n\) avec celui de \(A\), on peut le noter plus simplement :
\[ 0 = (0,0,...,0) \]
5. Ordre partiel
Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :
\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \)
\( y = (y_1,y_2,...,y_n) \)
On dit que \(x \le y\) si et seulement si \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \ge x\).
On dit que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x_i \strictinferieur y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \strictsuperieur x\).
6. Opérations internes
Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :
\[ x = (x_1,x_2,...,x_n) \]
\[ y = (y_1,y_2,...,y_n) \]
pour certains \(x_i,y_i \in A\).
Les opérations sur \(A^n\) sont définies par la même opération appliquée aux composantes. L'addition s'écrit donc :
\[ x + y = (x_1 + y_1 , x_2 + y_2 , ... , x_n + y_n) \]
tandis que la soustraction est donnée par :
\[ x - y = (x_1 - y_1 , x_2 - y_2 , ... , x_n - y_n) \]
6.1. Neutre
L’élément nul de \(A^n\) est le neutre pour cette addition.
7. Multiplication mixte
La multiplication mixte \(\cdot : A \times A^n \to A^n\) est définie par :
\[\alpha \cdot x = (\alpha \cdot x_1 , \alpha \cdot x_2 , ... , \alpha \cdot x_n)\]
pour tout \(\alpha \in A\).
7.1. Notations
On note bien entendu :
\[x \cdot \alpha = \alpha \cdot x\]
Choisissant un \(\beta \in A\), on pose également :
\[\alpha \cdot \beta \cdot x = (\alpha \cdot \beta) \cdot x\]
Enfin, le signe de multiplication est souvent omis :
\[\alpha \ x = \alpha \cdot x\]
8. Lien avec les fonctions
On voit clairement que ces relations et opérations sont équivalentes aux mêmes relations et opérations définies sur les fonctions :
\[\{1,2,...,n\} \mapsto \{f(1),f(2),...,f(n)\} \equiv (f_1,f_2,...,f_n)\]
associées.
9. Puissance
Soit \(x,y \in A^n\) avec :
\[ x = (x_1,...x_n) \]
\[ y = (y_1,...,y_n) \]
La puissance s'écrit :
\[y^x = y_1^{x_1} \cdot y_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot y_n^{x_n}\]
10. Factorielle
Soit \(m = (m_1,m_2,...,m_n) \in \setN^n\). On définit :
\[m ! = m_1 ! \cdot m_2 ! \cdot ... \cdot m_n !\]