Eclats de vers : Matemat : Différentielles
Table des matières
\label{chap:differentielles}
1. Notation
Afin d’alléger les notations, nous notons :
\[ \lim_{h \to 0} = \lim_{ \substack{ h \to 0 \\ h \ne 0 } } \]
\[ \lim_{b \to a} = \lim_{ \substack{ b \to a \\ b \ne a } } \]
tout au long de ce chapitre.
2. Définition
Soit les espaces vectoriels \(\Omega, F\) sur \(\corps\).
La notion de différentielle généralise celle de dérivée ordinaire. On cherche à linéariser localement une fonction \(f : \Omega \mapsto F\) autour d'un point \(a \in \Omega\). Pour tout \(h \in \Omega\) suffisamment petit, on veut donc avoir :
\[ f(a + h) - f(a) \approx \differentielle{f}{a}(h) \]
où \(\differentielle{f}{a}\) est une application linéaire de \(\Omega\) vers \(F\). Attention, le \(f\) au-dessus du \(\mathfrak{D}\) est un indice supérieur indiquant la fonction différentiée, ce n’est pas une puissance. On suppose que la norme de \(\differentielle{f}{a}\) existe, de sorte que nous puissions écrire :
\[\norme{ \differentielle{f}{a}(h) } \le \norme{ \differentielle{f}{a} } \cdot \norme{h}\]
On demande que la norme de l'erreur donnée par :
\[E(h) = f(a + h) - f(a) - \differentielle{f}{a}(h)\]
devienne négligeable par rapport à :
\[\norme{ \differentielle{f}{a} } \cdot \norme{h}\]
lorsque \(h\) tend vers \(0\). Comme la norme de la différentielle ne varie pas, il nous suffit d'imposer que :
\[\lim_{ \substack{ h \to 0 \\ h \ne 0 } } \frac{ \norme{E(h)} }{ \norme{h} } = 0\]
Si ces conditions sont vérifiées, on dit que \(f\) est différentiable en \(a\) et que \(\differentielle{f}{a}\) est la différentielle de \(f\) en \(a\). On a alors :
\[f(a + h) - f(a) = \differentielle{f}{a}(h) + E(h)\]
ou encore :
\[f(a + h) = f(a) + \differentielle{f}{a}(h) + E(h)\]
2.1. Continuité
L'expression de \(f(a + h)\) peut donc s'écrire :
\[f(a + h) = f(a) + \differentielle{f}{a}(h) + E(h)\]
En prenant la limite quand \(h \to 0\), on a :
\[ \lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a) + \lim_{h \to 0} \differentielle{f}{a}(h) + \lim_{h \to 0} E(h) \]
La norme de la différentielle étant finie :
\[ \lim_{h \to 0} \norme{ \differentielle{f}{a}(h) } \le \lim_{h \to 0} \norme{ \differentielle{f}{a} } \cdot \norme{h}\]
elle tend vers zéro avec \(h\) :
\[ \lim_{h \to 0} \norme{ \differentielle{f}{a}(h) } \le \norme{ \differentielle{f}{a} } \cdot \lim_{h \to 0} \norme{h} = \norme{ \differentielle{f}{a} } \cdot \norme{0} = 0\]
et donc :
\[ \lim_{h \to 0} \differentielle{f}{a}(h) = 0 \]
On a aussi :
\begin{align*} \lim_{h \to 0} \norme{E(h)} &= \lim_{ h \to 0} \norme{h} \cdot \frac{ \norme{E(h)} }{ \norme{h} } \\ &= \left[ \lim_{ h \to 0} \norme{h} \right] \cdot \left[ \lim_{ h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{ \norme{h} } \right] \\ &= 0 \end{align*}et donc :
\[\lim_{h \to 0} E(h) = 0\]
L’expression de \(f(a+h)\) devient :
\[ \lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a) + 0 + 0 = f(a) \]
Si \(f\) est différentiable en \(a\), elle est forcément continue en \(a\).
3. Fonctions à intégrale continue
Soit une fonction \(u : A \mapsto B\). Si la fonction \(v\) définie par :
\[v(x) = \int_a^x u(x) \ d\mu(x)\]
est continue, on dit que \(u\) est à intégrale continue. On note \(\continue_{\mu}^{-1}(A,B)\) l'ensemble des fontions à intégrale continue.
4. Différentiabilité uniforme
On dit qu'une fonction \(f\) est uniformément différentiable sur \(A\) si pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\abs{f(s) - f(t) - \partial f(t) \cdot (s - t)} \le \epsilon \cdot \abs{s - t}\]
quel que soit \(s,t \in A\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\).