Eclats de vers : Matemat : Différences
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:differences}
1. Définition
Etant donné une suite :
\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
on définit l'opérateur des différences \(\difference\) par :
\[\difference a_k = a_{k + 1} - a_k\]
2. Addition
Soit les suites :
\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
et :
\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
La différence de l'addition vérifie :
\[\difference (a_k + b_k) = a_{k + 1} + b_{k + 1} - a_k - b_k = \difference a_k + \difference b_k\]
3. Multiplication
Soit les suites :
\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
et :
\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
La différence de la multiplication vérifie :
\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]
Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_{k + 1} \cdot b_k\). On a :
\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_{k + 1} \cdot b_k + a_{k + 1} \cdot b_k - a_k \cdot b_k\]
et :
\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot \difference b_k + \difference a_k \cdot b_k\]
Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_k \cdot b_{k + 1}\). On a :
\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]
et :
\[\difference (a_k \cdot b_k) = \difference a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot \difference b_k\]
4. Somme et différence
On définit également :
\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} a_k - \sum_{k = 0}^n a_k\]
La définition nous donne directement :
\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = (a_1 + ... + a_{n + 1}) - (a_0 + ... + a_n)\]
Tous les termes se neutralisant sauf \(a_0\) et \(a_{n + 1}\), on a :
\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = a_{n + 1} - a_0\]
On voit aussi que :
\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = (a_{n + 1} - a_n) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)\]
Tous les termes se neutralisant mutuellement sauf le permier et le dernier, on a :
\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]
Ce résultat étant identique au précédent, on a :
\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]
5. Sommation par parties
Soit les suites :
\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
et :
\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]
On a :
\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = a_{n + 1} \cdot b_{n + 1} - a_0 \cdot b_0\]
En utilisant la loi de différence d'une multiplication, on obtient parallèlement :
\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1} + \sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k\]
On a donc :
\[\sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k = \sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) - \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1}\]
c'est-à-dire :
$$∑k = 0n ak ⋅ \difference bk = an + 1 ⋅ bn + 1 - a0 ⋅ b0 - ∑k = 0n \difference ak ⋅ bk + 1