Eclats de vers : Matemat : Dérivées
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:derivee}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
2. Fonction constante
Si \(f\) est constante, on peut trouver \(c \in F\) tel que :
\[f(x) = c\]
pour tout \(x \in \Omega\). On a alors :
\[\partial_j f(a) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{c - c}{\lambda} = 0\]
Par conséquent :
\[\partial f(a) = 0\]
3. Identité
Considérons le cas particulier où \(m = n\) et où \(f = \identite\). Lorsque \(i = j\), nous avons :
\[\partial_i f_i(a) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{x_i + \lambda - x_i}{\lambda} = \lim_{\lambda \to 0} \frac{\lambda}{\lambda} = 1\]
Lorsque \(i \ne j\), on a par contre :
\[\partial_j f_i(a) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{x_i - x_i}{\lambda} = \lim_{\lambda \to 0} \frac{0}{\lambda} = 0\]
On en conclut que :
\[\partial f(a) = \partial \identite(a) = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j} = I\]
La Jacobienne de la fonction identité est la matrice identité.
4. Composition de fonctions
Nous allons nous intéresser à présent au moyen d'obtenir la dérivée d'une composée de fonctions \(f : E \mapsto F\) et \(g : F \mapsto G\). Supposons que \(f\) soit différentiable en \(a\) et que \(g\) soit différentiable en \(b = f(a)\). On a alors :
\( df(a) = f(a + da) - f(a) = \partial f(a) \cdot da + E_f(da) \)
\( dg(b) = g(b + db) - g(b) = \partial g(b) \cdot db + E_g(db) \)
Choisissons en particulier \(db = f(a + da) - f(a)\). On a alors :
\begin{align} dg(b) &= g(f(a + da)) - g(f(a)) \) \( &= (g \circ f)(a + da) - (g \circ f)(a) \) \( &= d(g \circ f)(a) \end{align}Mais d'un autre coté :
\begin{align} dg(b) &= \partial g(f(a)) \cdot df(a) + E_g(df(a)) \) \( &= \partial g(f(a)) \cdot \left( \partial f(a) \cdot da + E_f(da) \right) + E_g(df(a)) \) \( &= \partial g(f(a)) \cdot \partial f(a) \cdot da + E_f(da) \cdot da + E_g(df(a)) \) \( \end{align}Il est aisé de vérifier que :
\[\lim_{h \to 0} \frac{\partial g(f(a)) \cdot E_f(da) + E_g(df(a))}{\norme{h}} = 0\]
puisque \(\partial g(f(a))\) ne dépend pas de \(da\). On a donc montré que \(g \circ f\) est différentiable en \(a\) et que :
\[\partial (g \circ f)(a) = \partial g(f(a)) \cdot \partial f(a) = (\partial g \circ f)(a) \cdot \partial f(a)\]
La dérivée d'une composée de fonctions est donc tout simplement le produit des Jacobiennes.
4.1. Notation
Soit le schéma fonctionnel :
\[(x_1,...,x_n) \mapsto (y_1,...,y_m) \mapsto (z_1,...,z_p)\]
On note aussi :
\( \deriveepartielle{z_i}{x_j} = \sum_k \deriveepartielle{z_i}{y_k} \cdot \deriveepartielle{y_k}{x_j} \\ \)
\( \deriveepartielle{z}{x^T} = \deriveepartielle{z}{y^T} \cdot \deriveepartielle{y}{x^T} \)
Pour \(z : t \mapsto (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t))\), on a également :
\[\OD{z}{t} = \sum_k \deriveepartielle{z}{x_k} \cdot \OD{x_k}{t}\]
Si \(x,y,z \in \corps\), on a encore :
\[\OD{z}{x} = \OD{z}{y} \cdot \OD{y}{x}\]
5. Inverse fonctionnel
En considérant le cas particulier \(g = f^{-1}\), on a \(g \circ f = \identite\). Choisissons un vecteur \(a\) où \(f\) est différentiable et posons \(b = f(a)\). On a :
\[\partial f^{-1}(b) \cdot \partial f(a) = \partial \identite(a) = I\]
La jacobienne de l'inverse d'une fonction est donc l'inverse matriciel de sa jacobienne :
\[\partial f^{-1}(b) = \left[ \partial f(a) \right]^{-1}\]
5.1. Notation
On note aussi :
\[\deriveepartielle{y}{x} = \left(\deriveepartielle{x}{y}\right)^{-1}\]
ou, pour des fonctions \(y : \corps \mapsto \corps\) :
\[\OD{y}{x} = \left(\OD{x}{y}\right)^{-1}\]
6. Addition
Si \(f,g\) sont différentiables en \(a\), on a :
\( f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + E_f(h) \)
\( g(a + h) - g(a) = \partial g(a) \cdot h + E_g(h) \)
En additionnant les équations ci-dessus, on obtient :
\( \left[ f(a + h) + g(a + h) \right] - \left[ f(a) + g(a) \right] = [ \partial f(a) + \partial g(a) ] \cdot h \)
\( \qquad \qquad + E_f(h) + E_g(h) \)
Il est clair que :
\[\lim_{h \to 0} \frac{\norme{E_f(h) + E_g(h)}}{\norme{h}} = 0\]
La fonction \(f + g\) est donc différentiable en \(a\) et :
\[\partial (f + g)(a) = \partial f(a) + \partial g(a)\]
On peut montrer, cette fois en soustrayant les deux équations que :
\[\partial (f - g)(a) = \partial f(a) - \partial g(a)\]
7. Produit scalaire
Considérons deux fonctions \(f,g\) différentiables en \(a\) :
\( f(a + h) = f(a) + \partial f(a) \cdot h + E_f(h) \)
\( g(a + h) = g(a) + \partial g(a) \cdot h + E_g(h) \)
\( \)
Leur produit scalaire s'écrit :
\( \scalaire{f(a + h)}{g(a + h)} = \scalaire{f(a)}{g(a)} + \scalaire{f(a)}{\partial g(a) \cdot h} + \scalaire{\partial f(a) \cdot h}{g(a)} \)
\( \qquad \qquad \qquad + E_{f \cdot g}(h) \)
où :
\( E_{f \cdot g}(h) = \scalaire{E_f(h)}{E_g(h)} + \scalaire{E_f(h)}{g(a)} + \scalaire{E_f(h)}{\partial g(a)} + \)
\( \qquad \qquad \scalaire{f(a)}{E_g(h)} + \scalaire{\partial f(a)}{E_g(h)} \)
On a donc :
\[\lim_{h \to 0} \frac{\norme{E_{f \cdot g}(h)}}{\norme{h}} = 0\]
ce qui nous montre que la différentielle du produit scalaire s'écrit :
\[\differentielle{ \scalaire{f}{g} }{a}(h) = \scalaire{f(a)}{\partial g(a) \cdot h} + \scalaire{\partial f(a) \cdot h}{g(a)}\]
En terme de composantes, on a :
\[\differentielle{ \scalaire{f}{g} }{a}(h) = \sum_{j = 1}^n \varpi_j \cdot h_j \cdot \sum_{i = 1}^m \left[ f_i(a) \cdot \partial_j g_i(a) + \partial_j f_i(a) \cdot g_i(a) \right]\]
La représentation matricielle s'écrit donc :
\[\partial \scalaire{f}{g}(a) = \left[ \partial g(a) \right]^T \cdot f(a) + \left[ \partial f(a) \right]^T \cdot g(a)\]
7.1. Dérivée ordinaire
Dans le cas où \(m = n = 1\), cette expression se simplifie en :
\[\OD{}{x}(f \cdot g)(a) = f(a) \cdot \OD{g}{x}(a) + \OD{f}{x}(a) \cdot g(a)\]
7.2. Constante
Si une des deux fonctions est constante, soit \(g(x) = c\) pour tout \(x\), on a :
\[\partial g(x) = 0\]
et :
\[\OD{}{x}(f \cdot c)(a) = f(a) \cdot 0 + \OD{f}{x}(a) \cdot c = c \cdot \OD{f}{x}(a)\]
7.3. Notation
On note aussi :
\[d(f \cdot g) = df \cdot g + f \cdot dg\]
8. Inverse multiplicatif
Soit les fonctions \(f,g : \corps \mapsto \corps\) reliées par l'équation :
\[f \cdot g = 1\]
En dérivant, on obtient :
\[\OD{f}{x} \cdot g + f \cdot \OD{g}{x} = \OD{1}{x} = 0\]
Donc, si \(g \ne 0\), on a :
\[\OD{f}{x} = - \frac{f}{g} \cdot \OD{g}{x}\]
Mais comme \(f(x) = 1/g(x)\), cela nous donne :
\[\OD{}{x}\left(\unsur{g}\right)(x) = - \unsur{g(x)^2} \cdot \OD{g}{x}(x)\]
9. Fraction
En appliquant les résultats précédents, on obtient :
\[\OD{}{x}\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \OD{}{x}\left( f \cdot \unsur{g} \right)(x) = \OD{f}{x}(x) \cdot g(x) - \frac{f(x)}{g(x)^2} \cdot \OD{g}{x}(x)\]
et finalement :
\[\OD{}{x}\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{\OD{f}{x}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot \OD{g}{x}}{g(x)^2}\]
10. Dérivée d'une limite
Soit la suite de fonctions :
\[F = \{ f_n \in \setR^\setR : n \in \setN \}\]
convergeant en tout point \(x \in \setR\) vers une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) :
\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\]
Si la fonction \(f\) est différentiable en \(a \in \setR\), on a :
\begin{align} \partial f(a) &= \lim_{h \to 0} \unsur{h} \big[f(a + h) - f(a)\big] \) \( &= \lim_{h \to 0} \unsur{h} \crochets{\lim_{n \to \infty} f_n(a + h) - \lim_{n \to \infty} f_n(a)} \) \( &= \lim_{h \to 0} \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(a + h) - f_n(a)}{h} \end{align}