Eclats de vers : Matemat : Dérivées ordinaires
Table des matières
\label{chap:differentielles}
1. Notation
Afin d’alléger les notations, nous notons :
\[ \lim_{h \to 0} = \lim_{ \substack{ h \to 0 \\ h \ne 0 } } \]
\[ \lim_{b \to a} = \lim_{ \substack{ b \to a \\ b \ne a } } \]
tout au long de ce chapitre.
2. Introduction
2.1. Définition
Soit un ensemble \(A \subseteq \setR\). L'idée à la base de la notion de dérivée est de linéariser localement une fonction \(f : A \mapsto \setR\) autour d'un point \(a \in A\). Pour tout \(h \in \setR\) suffisamment proche de zéro, on veut donc avoir :
\[ f(a + h) - f(a) \approx D f(a) \cdot h \]
où \(D f(a) \in \setR\). On demande que l'erreur donnée par :
\[ E(h) = f(a + h) - f(a) - D f(a) \cdot h \]
devienne négligeable par rapport à :
\[ D f(a) \cdot h \]
lorsque \(h\) tend vers \(0\). Comme \(D f(a)\) ne dépend pas de \(h\), il nous suffit d'imposer que :
\[\lim_{h \to 0} \frac{E(h)}{h} = 0\]
Si ces conditions sont vérifiées, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) et que \(D f(a)\) est la dérivée de \(f\) en \(a\). On a alors :
\[ f(a + h) - f(a) = D f(a) \cdot h + E(h) \]
ou encore :
\[ f(a + h) = f(a) + D f(a) \cdot h + E(h) \]
2.2. Limite
Si on divise par \(h\) la relation :
\[ f(a + h) - f(a) = D f(a) \cdot h + E(h) \]
on obtient :
\[ \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = D f(a) + \frac{E(h)}{h} \]
ou encore :
\[ D f(a) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \frac{E(h)}{h} \]
En prenant la limite pour \(h \to 0\), cette relation devient :
\[ \lim_{h \to 0} D f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{E(h)}{h} \]
La dernière limite du membre de droite est nulle par définition de la dérivée. On a donc :
\[ \lim_{h \to 0} D f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Comme le membre de gauche ne dépend pas de \(h\), on a simplement :
\[ D f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
2.2.1. Définition équivalente
Si on pose \(b = a + h\), on voit que \(h = b - a\) et que la convergence \(h \to 0\) est équivalente à \(b \to a\). On a donc :
\[ D f(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
2.3. Fonction dérivée
Si la fonction \(f\) est dérivable partout sur l’ensemble \(A\), le réel \(D f(a)\) existe pour tout \(a \in A\). On peut donc définir la fonction \(D f\) par :
\[ D f : a \mapsto D f(a) \]
Cette fonction \(D f\) est appelée dérivée de \(f\).
2.4. Opérateur de dérivation
L’opérateur de dérivation \(D\) construit une dérivée \(D f\) à partir de n’importe quelle fonction dérivable \(f\). Il est formellement défini par :
\[ D : f \mapsto D f \]
pour toute fonction \(f\) dérivable sur \(\domaine f\).
2.5. Notations
2.5.1. Notation d’Euler
La notation que nous avons utilisée jusqu’ici, qui écrit la dérivée d’une fonction \(f\) en la précédant d’un \(D\) :
\[ D f \]
est la notation d’Euler.
2.5.2. Notation de Lagrange
La notation de Lagrange écrit la dérivée d’une fonction \(f\) avec un prime juste à droite du nom de la fonction :
\[ f' = D f \]
2.5.3. Notation de Newton
La notation de Newton écrit la dérivée d’une fonction \(f\) en la surmontant d’un point :
\[ \dot{f} = D f \]
2.5.4. Notation de Leibniz
Reprenons l’expression de la dérivée en \(a\) sous forme de limite :
\[ D f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Si on définit :
\[ \difference f = f(a + h) - f(a) \]
\[ \difference x = (a + h) - (a) = h \]
on a schématiquement :
\[ D f(a) = \lim_{\difference x \to 0} \frac{\difference f}{\difference x} \]
La dérivée est donc la limite d’une fraction de différences. En utilisant un delta minuscule pour désigner le fait que ces variations tendent vers zéro, on peut noter la dérivée en \(a\) par :
\[ \frac{\delta f}{\delta x}(a) = \lim_{\difference x \to 0} \frac{\difference f}{\difference x} \]
La notation de Leibniz utilise des \(d\) minuscules au lieu des deltas :
\[\OD{f}{x}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
ce qui nous donne une autre façon de noter la fonction dérivée :
\[\OD{f}{x} = D f \]
Cette notation permet d’obtenir intuitivement de nombreux résultats concernant les propriétés des dérivées.
2.5.5. Notation personnelle
Dans cet ouvrage, j’utilise la notation :
\[\partial f = D f \]
que je trouve claire et compacte.
Attention, ce n’est pas une notation standard en mathématiques.
3. Continuité
Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) dérivable sur \(A\) et \(a \in A\). L'expression de \(f(a + h)\) peut s'écrire :
\[f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + E(h)\]
En prenant la limite quand \(h \to 0\), on a :
\[ \lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a) + \lim_{h \to 0} f'(a) \cdot h + \lim_{h \to 0} E(h) \]
On peut faire sortir \(f'(a)\) de la limite :
\begin{align*} \lim_{h \to 0} f(a + h) &= f(a) + f'(a) \cdot \lim_{h \to 0} h + \lim_{h \to 0} E(h) \\ &= f(a) + f'(a) \cdot 0 + \lim_{h \to 0} E(h) \\ &= f(a) + \lim_{h \to 0} E(h) \end{align*}Comme :
\begin{align*} \lim_{h \to 0} E(h) &= \lim_{ h \to 0} h \cdot \frac{E(h)}{h} \\ &= \left[\lim_{ h \to 0} h\right] \cdot \left[\lim_{ h \to 0} \frac{E(h)}{h}\right] \\ &= 0 \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}l’expression de \(f(a+h)\) devient :
\[ \lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a) \]
Si \(f\) est différentiable en \(a\), elle est forcément continue en \(a\).
4. Accroissement infinitésimal
4.1. Introduction
Une variation infinitésimale est une variation aussi proche que l’on veut de zéro. En langage des limites, on peut donc faire tendre cette variation vers zéro.
La notation de Leibniz permet de visualiser aisément la variation infinitésimale d’une fonction \(f : A \mapsto \setR\) dérivable sur \(A\). Si on la combine avec la notation de Lagrange, on a :
\[ \OD{f}{x} = f' \]
En multipliant par la variation infinitésimale \(dx\) de \(x\), on a :
\[ df = f' \ dx \]
ou, plus précisément :
\[ df(x) = f'(x) \ dx \]
On retrouve aussi cette expression infinitésimale sous la forme :
\[ \delta f = f' \ \delta x \]
Cette expression nous ramène à l’approximation :
\[ \difference f \approx f' \ \difference x \]
avec une erreur qui tend vers zéro plus vite que \(\difference x\).
4.2. Variables liées
Soit deux variables \(x\) et \(y\) reliées par la fonction \(f\) comme suit :
\[ y = f(x) \]
On a alors :
\[ dy = df \]
c’est-à-dire :
\[ dy = f' \ dx \]
4.3. Généralisation
Soit deux variables \(x\) et \(y\) reliées par les fonctions \(f\) et \(g\) comme suit :
\[ g(y) = f(x) \]
On en déduit que :
\[ dg(y) = df(x) \]
c’est-à-dire :
\[ g'(y) \ dy = f'(x) \ dx \]
5. Dérivée seconde
5.1. Introduction
Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) dérivable sur \(A\). Si la dérivée \(D f\) est elle-même dérivable, on peut évaluer la dérivée de cette dérivée :
\[ D^2 f = D D f = D (D f) \]
La fonction \(D^2 f\) est appelée dérivée seconde de \(f\).
5.2. Notations
5.2.1. Notation de Lagrange
La notation de Lagrange écrit la dérivée seconde d’une fonction \(f\) avec un double prime juste à droite du nom de la fonction :
\[ f'' = D^2 f \]
5.2.2. Notation de Newton
La notation de Newton écrit la dérivée d’une fonction \(f\) en la surmontant d’un double point :
\[ \ddot{f} = D f \]
5.2.3. Notation de Leibniz
La notation de Leibniz pour la dérivée seconde identifie les opérateurs :
\[ \left(\OD{}{x}\right)^2 = D^2 \]
et :
\[ \OOD{}{x} = \left(\OD{}{x}\right)^2 \]
On a donc la notation :
\[ \OOD{f}{x} = D^2 f \]
ou, en \(a \in \domaine f\) :
\[ \OOD{f}{x}(a) = D^2 f(a) \]
5.2.4. Notation personnelle
Dans cet ouvrage, j’utilise la notation :
\[\partial^2 f = D^2 f \]
6. Dérivée d’ordre \(n\)
6.1. Introduction
Soit \(n \in \setN\). Si la fonction \(f : A \mapsto \setR\) est \(n\) fois dérivable sur \(A\), on appelle :
\[ D^n f \]
la dérivée d’ordre \(n\) de \(f\).
6.2. Notations
6.2.1. Notation de Lagrange
La notation de Lagrange écrit la dérivée d’ordre \(n\) d’une fonction \(f\) en plaçant un \((n)\) en indice supérieur :
\[ f^{(n)} = D^n f \]
Attention, le \((n)\) n’est pas une puissance.
6.2.2. Notation de Leibniz
La notation de Leibniz pour la dérivée d’ordre \(n\) identifie les opérateurs :
\[ \left(\OD{}{x}\right)^n = D^n \]
et :
\[ \NOD{}{x}{n} = \left(\OD{}{x}\right)^n \]
On a donc la notation :
\[ \NOD{f}{x}{n} = D^n f \]
ou, en \(a \in \domaine f\) :
\[ \NOD{f}{x}{n}(a) = D^n f(a) \]
6.2.3. Notation personnelle
Dans cet ouvrage, j’utilise la notation :
\[\partial^n f = D^n f \]