Eclats de vers : Matemat : Dérivées des puissances
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Introduction
Nous allons évaluer les dérivées des fonctions \(f : x \mapsto x^\alpha\) où \(x,\alpha \in \setR\).
2. L'inverse multiplicatif
Commençons par :
\( x \cdot y = 1 \)
\( y = \unsur{x} = x^{-1} \)
On en déduit que :
\[x \cdot dy + y \cdot dx = d(1) = 0\]
ce qui nous donne :
\[\OD{}{x}\left( \unsur{x} \right) = \OD{y}{x} = -\frac{y}{x} = -\frac{1}{x^2}\]
3. Puissances négatives
Considérons la relation :
\[y = x^{-n}\]
où \(n\in\setN\). On définit la variable intermédiaire \(z\) telle que :
\( z = x^{-1} \)
\( y = z^n \)
On en déduit :
\begin{align} \OD{y}{x} = \OD{y}{z} \cdot \OD{z}{x} &= n \cdot z^{n - 1} \cdot \left( -\unsur{x^2} \right) \) \( &= - n \cdot x^{1 - n} \cdot x^{-2} \) \( &= (-n) \cdot x^{-n - 1} \end{align}4. Racines
Toujours pour \(n \in \setN\), considérons la relation :
\[y = x^n \qquad \Leftrigfhtarrow\qquad x = y^{1/n}\]
Posons \(\alpha = 1/n\). On a :
\[\OD{y}{x} = n \cdot x^{n - 1} = n \cdot y \cdot y^{-\alpha}\]
Donc :
\[\OD{x}{y} = \alpha \cdot y^{\alpha-1}\]
5. Puissances fractionnaires
Choisissons à présent :
\[y = x^{m/n}\]
où \(m\in\setZ\) et \(n\in\setN\). Définissons la variable intermédiaire :
\[z = x^m\]
On a alors :
\[y = z^{1/n}\]
Posons \(\alpha = m/n\). La dérivée s'écrit :
\begin{align} \OD{y}{x} = \OD{y}{z} \cdot \OD{z}{x} &= \unsur{n} \cdot z^{\unsur{n} - 1} \cdot m \cdot x^{m - 1} \) \( &= \alpha \cdot x^{\alpha - m} \cdot x^{m - 1} \) \( &= \alpha \cdot x^{\alpha - 1} \end{align}On a donc :
\[\OD{}{x}\left( x^\alpha \right) = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\]
6. Puissances réelles
Par passage à la limite, on obtient :
\[\OD{}{x}\left( x^\alpha \right) = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\]
pour tout \(\alpha \in \setR\).