Eclats de vers : Matemat : Dérivation et intégration dans le plan complexe
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:dicplx}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
- Chapitre \ref{chap:integ} : Les intégrales
2. Dérivées
On définit la dérivée d'une fonction \(f : \setC \mapsto \setC\) par analogie avec la dérivée des fonctions réelles :
\[\OD{f}{z}(z) = \lim_{ \substack{ h \to 0 \\ h \in\setC } } \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\]
Si \(f\) est dérivable sur \(A\subseteq\setC\), on dit qu'elle est analytique sur \(A\).
On définit les fonctions \(u,v : \setR^2 \mapsto \setR\) associées à \(f\) par :
\( u(x,y) = \Re\left(f(x + \img y) \right) \)
\( v(x,y) = \Im\left(f(x + \img y) \right) \)
On a alors \(f(z) = u(x,y) + \img v(x,y)\). Si \(f\) est dérivable, la limite ne peut pas dépendre du chemin suivi pour arriver en \((x,y)\). On peut donc choisir \(h\) de la forme \(\Delta x\) ou \(\img \Delta y\) avec \(\Delta x,\Delta y\in\setR\). Cela donne :
\( \OD{f}{z}(z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\PD{u}{x}\Delta x + \img \PD{v}{x}\Delta x}{\Delta x} \)
\( \OD{f}{z}(z) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\PD{u}{y}\Delta y + \img \PD{v}{y}\Delta y}{\img \Delta y} \)
et par comparaison :
\( \PD{u}{x} = \PD{v}{y} \)
\( \PD{u}{y} = -\PD{v}{x} \)
En dérivant de nouveau ces équations, on obtient :
\( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
\( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \)
Les puissances de \(z\) sont dérivables. On vérifie que :
\[\OD{z^n}{z}=n z^{n-1}\]
3. Extension de l'intégrale au plan complexe
Soit une fonction \(f : A \mapsto \setC\). Comme \(u = \Re(f)\) et \(v = \Im(f)\) sont des fonctions à valeurs réelles :
\[u,v : A \mapsto \setR\]
leur intégrale est bien définie. On définit alors l'intégrale de \(f\) par :
\[\int_A f d\mu = \int_A u d\mu + \img \int_A v d\mu\]
4. Intégrale de ligne
Soit une fonction \(\gamma : [a,b] \mapsto \setC\) et la courbe :
\[l = \{ \gamma(t) : t \in [a,b] \} \subset \setC\]
On définit l'intégrale de ligne de \(f\) sur \(l\) par :
\[\int_l f(z) dz = \int_a^b (f \circ \gamma)(t) \OD{\gamma}{t}(t) dt\]
On peut également écrire :
\( \int_l f(z) dz = \int_l (u + \img v)(dx + \img dy) \)
\( \int_l f(z) dz = \int_l (u dx - v dy) + \img \int_l (u dy + v dx) \)
où les intégrales des membres de droites sont des intégrales de ligne classiques de fonctions \(\setR^2 \mapsto \setR\).
4.1. Théorème fondamental
Soit une fonction analytique \(F : \setC \mapsto \setC\). La dérivée d'une composée de fonction nous donne :
\[\OD{}{t}(F \circ \gamma)(t) = (\OD{F}{z} \circ \gamma)(t) \OD{\gamma}{t}(t)\]
On en déduit, en appliquant le théorème fondamental que :
\[\int_l \OD{F}{z}(z) dz = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))\]
4.2. Contour fermé
Dans la suite, lorsque \(l\) est une courbe fermée et est donc la frontière d'un certain ensemble \(l = \partial S\) inclus dans \(\setC\), nous notons :
\[\oint_l f(z) dz = \int_{\partial S} f(z) dz\]
Soit \(f\) une fonction analytique et \(l = \partial S\) une courbe fermée. On a :
\[\oint_l f(z) dz = \oint_l (u dx - v dy) + \img \oint_l (u dy + v dx)\]
En appliquant le théorème de Stokes, il vient :
\( \oint_l f(z) dz = \int_S (-\PD{v}{x}-\PD{u}{y}) dS + \img \int_S (\PD{u}{x}-\PD{v}{y}) dS \)
\( \)
Mais comme \(f\) est analytique :
\( \PD{u}{x} = \PD{v}{y} \)
\( \PD{u}{y} = -\PD{v}{x} \)
Les termes du membre de droite s'annulent donc et :
\[\oint_l f(z) dz = 0\]
4.3. Cercle
Soit \(C\) le cercle de centre \(a\) et de rayon \(R\) :
\[C = \{ \gamma(\theta) = a + R \exp(\img\theta) : \theta \in [ 0 , 2 \pi ) \}\]
On a alors :
\[\OD{\gamma}{\theta}(\theta) = R \img \exp(\img\theta)\]
et :
\[(z - a)^k = \left( R \exp(\img\theta) \right)^k\]
pour tout \(z\in C\) et \(k \in \setZ\). Donc :
\( \oint_C \frac{dz}{(z-a)^k} = \int_0^{2\pi} \frac{R \img \exp(\img\theta)}{R^k \exp(\img k\theta)} \)
\( \oint_C \frac{dz}{(z-a)^k} = \img R^{1-k} \int_0^{2\pi} \exp[\img(1-k)\theta] d\theta \)
Mais les propriétés de périodicité des fonctions trigonométriques et de l'exponentielle associée nous permettent de vérifier que :
\[\int_0^{2\pi} \exp[\img l \theta] d\theta = 2 \pi \delta_{l,0}\]
pour tout \(l\in\setZ\). On a donc :
\[\oint_C \frac{dz}{(z-a)^k} = 2 \pi \img \delta_{k,1}\]
pour tout \(k \in \setZ\). L'intégrale s'annule pour tout les \(k \ne 1\).
Vu que la fonction \(f(z) = (z-a)^{-k}\) est analytique partout sauf en \(a\), on obtient le même résultat pour toute courbe fermée entourant \(a\) :
\[\oint_{\partial S} \frac{dz}{(z-a)^k} = 2 \pi \img \delta_{k,1} \delta_S(a)\]
4.4. Théorème de Cauchy
Si \(f\) est analytique, la fonction
\[ g(z) = \begin{cases} \frac{f(z)-f(a)}{z-a} & \mbox{si } z \ne a \\ \OD{f}{z}(a) & \mbox{si } z = a \end{cases} \]
est analytique aussi. On a donc :
\[\oint_l g(z) dz = 0\]
Soit \(a\in\setC\) et une courbe fermée entourant \(a\) telle que \(a\notin l\). On a alors :
\[\oint_l \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz = \oint_l g(z) dz = 0\]
On en déduit que :
\[f(a) = \oint_{\partial S} \frac{1}{z-a} dz = \oint_{\partial S} \frac{f(z)}{z-a} dz\]
ce qui nous donne la valeur de \(f(a)\) en fonction d'une intégrale :
\[f(a) = \frac{1}{2 \pi \img} \oint_{\partial S} \frac{f(z)}{z-a} dz\]
En dérivant \(k\) fois cette dernière relation par rapport à \(a\), on obtient :
\[\NOD{f}{z}{k}(a) = \frac{k !}{2 \pi \img} \oint_{\partial S} \frac{f(z)}{(z-a)^{k+1}} dz\]
4.5. Séries de Laurent
Supposons que \(f\) puisse s'écrire comme une combinaison linéaire de puissances entière de \(z-a\). On a :
\[f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n (z-a)^n\]
Multipliant le tout par \((z-a)^{-k-1}\) et intégrant sur un contour entourant \(a\), on obtient :
\[\oint_l f(z)(z-a)^{-k-1} dz = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \oint_l (z-a)^{n-k-1} dz\]
Mais nous avons vu que seule l'intégrale de \((z-a)^{-1}\) ne s'annule pas. On en déduit que :
\[\alpha_k = \frac{1}{2 \pi \img} \oint_l \frac{f(z)}{(z-a)^{k+1}} dz\]
4.6. Théorème des résidus
Considérons le cas où :
\[f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty} \alpha_n (z-a)^n\]
pour un certain \(p \in \setZ\). On dit alors que \(f\) à un pôle d'ordre \(p\) en \(a\). En multpliant le tout par \((z-a)^p\) et en dérivant \(p-1\) fois, on obtient :
\[\frac{d^{p-1}}{dz^{p-1}}[(z-a)^p f(z)] = (p-1) ! \left[a_{-1} + a_0 (z-a) + a_1 (z-a)^2 + ...\right]\]
On a donc :
\[\lim_{z \to a} \frac{d^{p-1}}{dz^{p-1}}[(z-a)^p f(z)] = (p-1) ! a_{-1}\]
Mais comme \(a_{-1}\) n'est rien d'autre, à un facteur \(2\pi\img\) près, que l'intégrale de \(f\) sur un contour entourant \(a\), on a : \[\] \ointl f(z) dz = 2 π \img limz → a \frac{1}{(p-1)!} \frac{dp-1}{dzp-1}[(z-a)p f(z)]